Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 16 . Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SB и проходящая через точку O , пересекает рёбра SA и SD в точках K и L соответственно. Точка K делит ребро SA в отношении SK : KA = 3 : 5 . а) Докажите, что точка L — середина ребра SD . б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OKL пересекает грань SCD .

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A : A(0; 0; 0) , B(16; 0; 0) , C(16; 16; 0) , D(0; 16; 0) . Тогда центр основания — точка O(8; 8; 0) . Найдём высоту пирамиды h : h = sqrt(16^2 - ( (162)/(2) )^2) = sqrt(256 - 128) = 8sqrt(2). Следовательно, вершина S(8; 8; 8sqrt(2)) . По условию SK : KA = 3 : 5 , значит, точка K делит отрезок SA в отношении 3 : 5 от вершины S . Найдём координаты точки K : K = S + (3)/(8)(A - S) = (8; 8; 8sqrt(2)) + (3)/(8)(-8; -8; -8sqrt(2)) = (5; 5; 5sqrt(2)). Пусть точка L лежит на ребре SD и делит его в отношении s : (1 - s) . Тогда координаты L : L = S + s(D - S) = (8 - 8s; 8 + 8s; 8sqrt(2)(1 - s)), s in [0; 1]. Найдём координаты векторов: OK = (-3; -3; 5sqrt(2)), OL = (-8s; 8s; 8sqrt(2)(1 - s)), SB = (8; -8; -8sqrt(2)). Плоскость OKL параллельна прямой SB тогда и только тогда, когда векторы OK , OL и SB компланарны, и SB можно разложить по векторам OK и OL : SB = alpha OK + beta OL . Получаем систему уравнений: cases 8 = -3alpha - 8sbeta, -8 = -3alpha + 8sbeta, -8sqrt(2) = 5sqrt(2)alpha + 8sqrt(2)(1 - s)beta. cases Сложим первые два уравнения: -6alpha = 0 , откуда alpha = 0 . Подставим alpha = 0 в первое уравнение: 8 = -8sbeta , следовательно, beta = -(1)/(s) . Подставим полученные значения в третье уравнение: -8 = 8(1 - s) * ( -(1)/(s) ) => -1 = -(1 - s)/(s) => s = 1 - s => s = (1)/(2). Так как s = (1)/(2) , точка L является серединой ребра SD . Что и требовалось доказать. б) При s = (1)/(2) координаты точки L будут: L(4; 12; 4sqrt(2)) . Найдём уравнение плоскости OKL . Найдём вектор нормали n как векторное произведение OK и OL : n = OK * OL = vmatrix i & j & k -3 & -3 & 5sqrt(2) -4 & 4 & 4sqrt(2) vmatrix. Вычислим координаты: 1. n_x = (-3) * 4sqrt(2) - 5sqrt(2) * 4 = -12sqrt(2) - 20sqrt(2) = -32sqrt(2) ; 2. n_y = 5sqrt(2) * (-4) - (-3) * 4sqrt(2) = -20sqrt(2) + 12sqrt(2) = -8sqrt(2) ; 3. n_z = (-3) * 4 - (-3) * (-4) = -12 - 12 = -24 . Разделим координаты вектора на -8 , получим n(4sqrt(2); sqrt(2); 3) . Уравнение плоскости, проходящей через точку O(8; 8; 0) : 4sqrt(2)(x - 8) + sqrt(2)(y - 8) + 3(z - 0) = 0 => 4sqrt(2)x + sqrt(2)y + 3z = 40sqrt(2). Плоскость пересекает грань SCD по отрезку. Одна его вершина — точка L на ребре SD . Найдём вторую точку M на ребре CD . Точки на прямой CD имеют вид (16 - 16u; 16; 0) , где u in [0; 1] . Подставим в уравнение плоскости: 4sqrt(2)(16 - 16u) + sqrt(2) * 16 + 3 * 0 = 40sqrt(2). Разделим на sqrt(2) : 64 - 64u + 16 = 40 => 80 - 40 = 64u => 40 = 64u => u = (40)/(64) = (5)/(8). Точка M(6; 16; 0) лежит на отрезке CD . Отрезок пересечения — LM . Найдём его длину: |LM| = sqrt((4 - 6)^2 + (12 - 16)^2 + (42 - 0)^2) = sqrt((-2)^2 + (-4)^2 + 32) = sqrt(4 + 16 + 32) = sqrt(52) = 2sqrt(13). Ответ: б) 2sqrt(13)

2*sqrt(13)