Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 16. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SB и проходящая через точку O, пересекает рёбра SA и SD в точках K и L соответственно. Точка K делит ребро SA в отношении SK:KA=3:5.
а) Докажите, что точка L — середина ребра SD.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OKL пересекает грань SCD.
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A: A(0;0;0), B(16;0;0), C(16;16;0), D(0;16;0). Тогда центр основания — точка O(8;8;0).
Найдём высоту пирамиды h:
h=162−(2162)2=256−128=82.Следовательно, вершина S(8;8;82).
По условию SK:KA=3:5, значит, точка K делит отрезок SA в отношении 3:5 от вершины S. Найдём координаты точки K:
K=S+83(A−S)=(8;8;82)+83(−8;−8;−82)=(5;5;52).Пусть точка L лежит на ребре SD и делит его в отношении s:(1−s). Тогда координаты L:
L=S+s(D−S)=(8−8s;8+8s;82(1−s)),s∈[0;1].Найдём координаты векторов:
OK=(−3;−3;52),OL=(−8s;8s;82(1−s)),SB=(8;−8;−82).Плоскость OKL параллельна прямой SB тогда и только тогда, когда векторы OK, OL и SB компланарны, и SB можно разложить по векторам OK и OL: SB=αOK+βOL. Получаем систему уравнений:
⎩⎨⎧8=−3α−8sβ,−8=−3α+8sβ,−82=52α+82(1−s)β.Сложим первые два уравнения: −6α=0, откуда α=0. Подставим α=0 в первое уравнение: 8=−8sβ, следовательно, β=−s1. Подставим полученные значения в третье уравнение:
−8=8(1−s)⋅(−s1)⇒−1=−s1−s⇒s=1−s⇒s=21.Так как s=21, точка L является серединой ребра SD. Что и требовалось доказать.
б) При s=21 координаты точки L будут: L(4;12;42). Найдём уравнение плоскости OKL. Найдём вектор нормали n как векторное произведение OK и OL:
n=OK×OL=i−3−4j−34k5242.Вычислим координаты:
1. nx=(−3)⋅42−52⋅4=−122−202=−322;
2. ny=52⋅(−4)−(−3)⋅42=−202+122=−82;
3. nz=(−3)⋅4−(−3)⋅(−4)=−12−12=−24.
Разделим координаты вектора на −8, получим n(42;2;3). Уравнение плоскости, проходящей через точку O(8;8;0):
42(x−8)+2(y−8)+3(z−0)=0⇒42x+2y+3z=402.Плоскость пересекает грань SCD по отрезку. Одна его вершина — точка L на ребре SD. Найдём вторую точку M на ребре CD. Точки на прямой CD имеют вид (16−16u;16;0), где u∈[0;1]. Подставим в уравнение плоскости:
42(16−16u)+2⋅16+3⋅0=402.Разделим на 2:
64−64u+16=40⇒80−40=64u⇒40=64u⇒u=6440=85.Точка M(6;16;0) лежит на отрезке CD. Отрезок пересечения — LM. Найдём его длину:
∣LM∣=(4−6)2+(12−16)2+(42−0)2=(−2)2+(−4)2+32=4+16+32=52=213.Ответ:
б) 213