Задача №17485

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей на 3 года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 30% меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6657 тыс. рублей. Найдите $S\text{.}$

Будем считать в тысячах рублей. Каждый январь долг умножается на $k=1,05$ (рост на 5%), а выплаты происходят с февраля по июнь, после чего фиксируется долг на июль текущего года.

Выпишем требуемые значения долга на июль каждого года.

Июль 2028: взяли $S\text{.}$

Июль 2029: на 30% меньше, чем годом ранее, то есть $0,7S\text{.}$

Июль 2030: ещё на 30% меньше, то есть $0,7\cdot 0,7S=0,49S\text{.}$

Июль 2031: долг погашен полностью, то есть $0\text{.}$

Выплата за каждый расчётный год равна разности между долгом после январского начисления процентов и долгом, который должен остаться на июль текущего года:

$$\text{выплата}=k\cdot d_{\text{пред}}-d_{\text{тек}},$$

где $d_{\text{пред}}$ — долг на июль предыдущего года, $d_{\text{тек}}$ — долг на июль текущего года.

Считаем выплаты по годам.

С июля 2028 по июль 2029:

$$1,05S-0,7S=0,35S.$$

С июля 2029 по июль 2030:

$$1,05\cdot 0,7S-0,49S=0,735S-0,49S=0,245S.$$

С июля 2030 по июль 2031:

$$1,05\cdot 0,49S-0=0,5145S.$$

Суммарная выплата:

$$0,35S+0,245S+0,5145S=1,1095S.$$

По условию эта сумма равна $6657\text{:}$

$$1,1095S=6657⟹S=\frac{6657}{1,1095}=6000.$$

Ответ: $S=6000$ тыс. рублей.