Задача №18323

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 150 000 рублей, а во второй год — 180 000 рублей.

Пусть $p=1+\frac{r}{100}\text{.}$ Составим таблицу выплат, все суммы будем указывать в тыс. рублей.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \displaystyle \hline \text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Платеж} & \text{Долг после платежа} \\ \displaystyle \hline 1 & 250 & 250p & 150 & 250p - 150 \\ \displaystyle \hline 2 & 250p - 150 & (250p - 150)\cdot p & 180 & 0 \\ \displaystyle \hline \end{array}

Из последней строчки получаем уравнение:

$$(250p-150)\cdot p-180=0$$ $$250p^2-150p-180=0$$ $$25p^2-15p-18=0$$ $$D=(-15{)}^2-4\cdot 25\cdot (-18)=225+1800=2025=45^2$$ $$p_{1,2}=\frac{15\pm 45}{50}$$ $$p_1=-\frac{30}{50};p_2=\frac{60}{50}$$

Так как $p>0\text{,}$ то подходит только $p=\frac{60}{50}\text{.}$ Отсюда получаем:

$$1+\frac{r}{100}=\frac{60}{50}$$ $$\frac{r}{100}=\frac{2}{10}$$ $$r=20$$