На столе лежит N монет по 2 рубля и 1000-N монет по 5 рублей, где N принимает значения от 1 до 999. Известно, что если взять любые 300 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет. а) Может ли N равняться 100? б) Может ли N равняться 500? в) Сколько всего значений может принимать N?

Общая сумма всех монет равна 2N+5(1000-N)=5000-3N. Условие должно выполняться для наименьшей возможной суммы 300 монет, то есть когда взято максимально много двухрублёвых монет. а) При N=100 минимальная сумма 300 монет: 100*2+200*5=1200, а четверть общей суммы (5000-300)/(4)=1175. Так как 12001175, а замена любой двойки на пятёрку только увеличивает сумму выбранных монет, условие выполнено. Значит, N=100 возможно. б) При N=500 возьмём 300 двухрублёвых монет: их сумма 600, а четверть общей суммы (5000-1500)/(4)=875. Так как 600<875, условие нарушается. Значит, N=500 невозможно. в) Если 1 N300, наименьшая сумма 300 монет равна 2N+5(300-N)=1500-3N, и условие 1500-3N(5000-3N)/(4) даёт 9N1000, то есть N111 (111 значений). Если 300<N999, наименьшая сумма 300 монет равна 300*2=600, и условие 600(5000-3N)/(4) даёт 3N2600, то есть N867 (133 значения). Всего 111+133=244 значения. Ответ: а) Да; б) Нет; в) 244.

а) Да; б) Нет; в) 244