Задача №17436

На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $1000-N$ монет по 5 рублей, где $N$ принимает значения от 1 до 999. Известно, что если взять любые 300 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться 100?
б) Может ли $N$ равняться 500?
в) Сколько всего значений может принимать $N\text{?}$

Общая сумма всех монет равна $2N+5(1000-N)=5000-3N\text{.}$ Условие должно выполняться для наименьшей возможной суммы 300 монет, то есть когда взято максимально много двухрублёвых монет.

а) При $N=100$ минимальная сумма 300 монет: $100\cdot 2+200\cdot 5=1200\text{,}$ а четверть общей суммы $\frac{5000-300}{4}=1175\text{.}$ Так как $1200⩾1175\text{,}$ а замена любой двойки на пятёрку только увеличивает сумму выбранных монет, условие выполнено. Значит, $N=100$ возможно.

б) При $N=500$ возьмём 300 двухрублёвых монет: их сумма $600\text{,}$ а четверть общей суммы $\frac{5000-1500}{4}=875\text{.}$ Так как $600<875\text{,}$ условие нарушается. Значит, $N=500$ невозможно.

в) Если $1⩽N⩽300\text{,}$ наименьшая сумма 300 монет равна $2N+5(300-N)=1500-3N\text{,}$ и условие $1500-3N⩾\frac{5000-3N}{4}$ даёт $9N⩽1000\text{,}$ то есть $N⩽111$ (111 значений).

Если $300<N⩽999\text{,}$ наименьшая сумма 300 монет равна $300\cdot 2=600\text{,}$ и условие $600⩾\frac{5000-3N}{4}$ даёт $3N⩾2600\text{,}$ то есть $N⩾867$ (133 значения).

Всего $111+133=244$ значения.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 244.