В Тридевятом царстве в обращении находятся монеты трёх видов: бронзовые рубли, серебряные монеты достоинством 9 рублей и золотые монеты достоинством 81 рубль. В казне находится неограниченный запас монет каждого вида.
а) Каким наименьшим количеством монет может быть выдан вклад в 2021 рубль?
б) Можно ли выдать вклад в 1955 рублей 25 монетами?
в) Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 23 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 700 рублей. Найдите эту сумму, если известно, что меньшим числом монет выдать её невозможно.
Пусть некоторая сумма M выдаётся x золотыми монетами (по 81 руб.), y серебряными (по 9 руб.) и z бронзовыми (по 1 руб.), всего x+y+z монет. Тогда M=81x+9y+z.
Для минимизации общего числа монет должны выполняться условия y⩽8 и z⩽8. Действительно, если z⩾9, то 9 бронзовых монет можно заменить одной серебряной, уменьшив общее число монет на 8. Аналогично для серебряных монет: 9 серебряных можно заменить одной золотой.
а) Возьмём максимально возможное число золотых монет:
⌊812021⌋=24,тогда остаток 2021−24⋅81=2021−1944=77 руб. Возьмём максимум серебряных монет:
⌊977⌋=8,остаток 77−72=5 руб. Бронзовых монет понадобится 5.
2021=81⋅24+9⋅8+5,всего 24+8+5=37 монет. Меньшее число золотых монет невозможно: при y,z⩽8 младшими монетами набирается не более 9⋅8+8=80 руб., а разность 2021−80=1941 требует не менее 24 золотых монет.
б) Допустим, 25 монет дают сумму 1955. Получим систему уравнений:
{81x+9y+z=1955,x+y+z=25.Вычитая второе уравнение из первого, имеем 80x+8y=1930. Левая часть делится на 8, а правая — нет (1930=8⋅241+2). Противоречие. Значит, 25 монетами выдать 1955 руб. нельзя.
в) Пусть M<700 — сумма, выданная 23 монетами, причём меньшим числом монет её выдать нельзя. Согласно замечанию, y⩽8 и z⩽8. Кроме того, 81x⩽M<700, значит x⩽8.
1. Из x+y+z=23 и y,z⩽8 следует, что x⩾23−8−8=7. Если z=8, то x+y=15. Возможные пары (x;y) с x,y⩽8:
2. Если z=7, то x+y=16, что при x,y⩽8 даёт x=y=8. Сумма 81⋅8+9⋅8+7=727>700 — не подходит. При z⩽6 сумма будет ещё больше.
3. Условию M<700 удовлетворяет только M=647.
4. Проверим, что 647 действительно нельзя выдать меньшим числом монет. Допустим, 647=81x′+9y′+z′ с y′,z′⩽8 и x′+y′+z′<23. Тогда 81x′⩾647−72−8=567, поэтому x′⩾7. При x′=7 получаем 9y′+z′=80, и при y′,z′⩽8 единственное решение y′=8,z′=8 даёт ровно 23 монеты. При x′=8 получаем 9y′+z′=−1 — невозможно. Значит, минимум — 23 монеты.
Ответ:
а) 37
б) нет
в) 647
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Ларин