В Тридевятом царстве в обращении находятся монеты трёх видов: бронзовые рубли, серебряные монеты достоинством 9 рублей и золотые монеты достоинством 81 рубль. В казне находится неограниченный запас монет каждого вида. а) Каким наименьшим количеством монет может быть выдан вклад в 2021 рубль? б) Можно ли выдать вклад в 1955 рублей 25 монетами? в) Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 23 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 700 рублей. Найдите эту сумму, если известно, что меньшим числом монет выдать её невозможно.

Пусть некоторая сумма M выдаётся x золотыми монетами (по 81 руб.), y серебряными (по 9 руб.) и z бронзовыми (по 1 руб.), всего x + y + z монет. Тогда M = 81x + 9y + z . Для минимизации общего числа монет должны выполняться условия y 8 и z 8 . Действительно, если z 9 , то 9 бронзовых монет можно заменить одной серебряной, уменьшив общее число монет на 8. Аналогично для серебряных монет: 9 серебряных можно заменить одной золотой. а) Возьмём максимально возможное число золотых монет: (2021)/(81) = 24, тогда остаток 2021 - 24 * 81 = 2021 - 1944 = 77 руб. Возьмём максимум серебряных монет: (77)/(9) = 8, остаток 77 - 72 = 5 руб. Бронзовых монет понадобится 5. 2021 = 81 * 24 + 9 * 8 + 5, всего 24 + 8 + 5 = 37 монет. Меньшее число золотых монет невозможно: при y, z 8 младшими монетами набирается не более 9 * 8 + 8 = 80 руб., а разность 2021 - 80 = 1941 требует не менее 24 золотых монет. б) Допустим, 25 монет дают сумму 1955. Получим систему уравнений: cases 81x + 9y + z = 1955, x + y + z = 25. cases Вычитая второе уравнение из первого, имеем 80x + 8y = 1930 . Левая часть делится на 8, а правая — нет ( 1930 = 8 * 241 + 2 ). Противоречие. Значит, 25 монетами выдать 1955 руб. нельзя. в) Пусть M < 700 — сумма, выданная 23 монетами, причём меньшим числом монет её выдать нельзя. Согласно замечанию, y 8 и z 8 . Кроме того, 81x M < 700 , значит x 8 . 1. Из x + y + z = 23 и y, z 8 следует, что x 23 - 8 - 8 = 7 . Если z = 8 , то x + y = 15 . Возможные пары (x; y) с x, y 8 : * x = 7, y = 8 . Сумма M_1 = 81 * 7 + 9 * 8 + 8 = 567 + 72 + 8 = 647 ; * x = 8, y = 7 . Сумма M_2 = 81 * 8 + 9 * 7 + 8 = 648 + 63 + 8 = 719 > 700 . 2. Если z = 7 , то x + y = 16 , что при x, y 8 даёт x = y = 8 . Сумма 81 * 8 + 9 * 8 + 7 = 727 > 700 — не подходит. При z 6 сумма будет ещё больше. 3. Условию M < 700 удовлетворяет только M = 647 . 4. Проверим, что 647 действительно нельзя выдать меньшим числом монет. Допустим, 647 = 81x' + 9y' + z' с y', z' 8 и x' + y' + z' < 23 . Тогда 81x' 647 - 72 - 8 = 567 , поэтому x' 7 . При x' = 7 получаем 9y' + z' = 80 , и при y', z' 8 единственное решение y' = 8, z' = 8 даёт ровно 23 монеты. При x' = 8 получаем 9y' + z' = -1 — невозможно. Значит, минимум — 23 монеты. Ответ: а) 37 б) нет в) 647

А) $37$;\quad Б) нет;\quad В) $647$.