Задача №16733

На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?

Числа $n$ делятся на 3 и оканчиваются на 7: $n=10k+7\text{.}$ Условие $n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ равносильно $10k+7\equiv 0(\mathrm{mod}3)\text{,}$ что даёт $k+1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ или $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)\text{.}$ Получаем последовательность:
$27;57;87;117;147;177;207;237;267;297;327;\dots$ — арифметическая прогрессия с $a_1=27$ и $d=30\text{.}$

Каждое такое число $a_i\equiv 27(\mathrm{mod}30)\text{.}$

а) Если взяли $k$ чисел, то сумма $S\equiv 27k(\mathrm{mod}30)\text{.}$
Число $231\equiv 21(\mathrm{mod}30)\text{.}$ Решим сравнение $27k\equiv 21(\mathrm{mod}30)\text{:}$
при $k=3$ имеем $81\equiv 21(\mathrm{mod}30)$ — подходит.

Проверка: $27+57+147=231\text{.}$

Да, можно.

б) Число $1590\equiv 0(\mathrm{mod}30)\text{.}$
Сравнение $27k\equiv 0(\mathrm{mod}30)$ равносильно $9k\equiv 0(\mathrm{mod}10)\text{,}$ то есть $k$ кратно 10. Минимум $k=10\text{.}$

Минимальная сумма 10 наименьших таких чисел:

$$S_{\min }=27+57+\dots +297=\frac{(27+297)\cdot 10}{2}=1620.$$

Так как $1620>1590\text{,}$ сумма 10 чисел не может быть равна 1590. При $k⩾20$ минимальная сумма будет ещё больше. Значит, сумма 1590 невозможна.

Нет, не может.

в) Число $1056\equiv 6(\mathrm{mod}30)\text{.}$ Сравнение $27k\equiv 6(\mathrm{mod}30)$ выполняется при $k=8\text{,}$ так как $216\equiv 6(\mathrm{mod}30)\text{.}$ Следующее подходящее значение $k=18\text{.}$

При $k=18$ минимальная сумма 18 чисел:

$$S=27\cdot 18+30\cdot \frac{17\cdot 18}{2}=486+4590=5076>1056,$$

поэтому $k=18$ невозможно.

Проверим $k=8\text{.}$ Сумма 8 наименьших чисел:

$$27+57+87+117+147+177+207+237=\frac{(27+237)\cdot 8}{2}=1056.$$

Сумма в точности равна 1056. Значит, наибольшее количество чисел равно 8.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 8