На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7. а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590? в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?

Числа n делятся на 3 и оканчиваются на 7: n = 10k + 7 . Условие n === 0 +-od 3 равносильно 10k + 7 === 0 +-od 3 , что даёт k + 1 === 0 +-od 3 или k === 2 +-od 3 . Получаем последовательность: 27; 57; 87; 117; 147; 177; 207; 237; 267; 297; 327; — арифметическая прогрессия с a_1 = 27 и d = 30 . Каждое такое число a_i ≡ 27 +-od30 . а) Если взяли k чисел, то сумма S ≡ 27k +-od30 . Число 231 ≡ 21 +-od30 . Решим сравнение 27k ≡ 21 +-od30 : при k = 3 имеем 81 ≡ 21 +-od30 — подходит. Проверка: 27 + 57 + 147 = 231 . Да, можно. б) Число 1590 ≡ 0 +-od30 . Сравнение 27k ≡ 0 +-od30 равносильно 9k ≡ 0 +-od10 , то есть k кратно 10. Минимум k = 10 . Минимальная сумма 10 наименьших таких чисел: S_() = 27 + 57 + + 297 = ((27 + 297) * 10)/(2) = 1620. Так как 1620 > 1590 , сумма 10 чисел не может быть равна 1590. При k 20 минимальная сумма будет ещё больше. Значит, сумма 1590 невозможна. Нет, не может. в) Число 1056 ≡ 6 +-od30 . Сравнение 27k ≡ 6 +-od30 выполняется при k = 8 , так как 216 ≡ 6 +-od30 . Следующее подходящее значение k = 18 . При k = 18 минимальная сумма 18 чисел: S = 27 * 18 + 30 * (17 * 18)/(2) = 486 + 4590 = 5076 > 1056, поэтому k = 18 невозможно. Проверим k = 8 . Сумма 8 наименьших чисел: 27 + 57 + 87 + 117 + 147 + 177 + 207 + 237 = ((27 + 237) * 8)/(2) = 1056. Сумма в точности равна 1056. Значит, наибольшее количество чисел равно 8. Ответ: а) Да б) Нет в) 8

А) да; Б) нет; В) 8