Задача №17421

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB\text{.}$ Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha \text{,}$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K\text{.}$
а) Докажите, что $K$ — середина ребра $SD\text{.}$
б) Найдите объём пирамиды $SABCD\text{,}$ если $AB=24\text{,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30^{\circ }\text{.}$

а) Построим сечение пирамиды плоскостью $\alpha \text{.}$ Так как $\alpha \parallel (SBC)\text{,}$ она пересекает грань $SAB$ по прямой, параллельной $SB\text{:}$ проведём $MP\parallel SB\text{.}$ Поскольку $M$ — середина $AB\text{,}$ отрезок $MP$ — средняя линия треугольника $SAB\text{,}$ и $P$ — середина $AS\text{.}$ Плоскость основания $\alpha$ пересекает по прямой, параллельной $BC\text{:}$ проведём $MN\parallel BC\text{,}$ тогда $N$ — середина $DC\text{.}$ Наконец, $\alpha$ пересекает грань $SDC$ по прямой, параллельной $SC\text{:}$ $NK\parallel SC\text{,}$ и так как $N$ — середина $DC\text{,}$ точка $K$ — середина $SD\text{.}$
б) Высота пирамиды падает в центр $O$ основания. Опустим $KH$ перпендикулярно плоскости основания. Так как $KH\parallel SO$ и $K$ — середина $SD\text{,}$ отрезок $KH$ — средняя линия треугольника $SDO\text{,}$ поэтому $DH=HO$ и $KH=\frac{1}{2}SO\text{.}$
Проведём через $H$ прямую, параллельную $AD\text{,}$ пересекающую $AB$ и $DC$ в точках $E$ и $F\text{.}$ Тогда $FH=\frac{1}{2}NO=6\text{,}$ значит $DF=FN=AE=EM=6$ и

Из прямоугольного треугольника $EHM\text{:}$

Так как $HM$ — проекция $MK$ на плоскость основания, угол $\angle KMH=30^{\circ }\text{,}$ поэтому

Объём пирамиды:

Ответ: б) $768\sqrt{30}\text{.}$