В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость alpha, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K. а) Докажите, что K — середина ребра SD. б) Найдите объём пирамиды SABCD, если AB=24, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 30^.

а) Построим сечение пирамиды плоскостью alpha. Так как alpha(SBC), она пересекает грань SAB по прямой, параллельной SB: проведём MP SB. Поскольку M — середина AB, отрезок MP — средняя линия треугольника SAB, и P — середина AS. Плоскость основания alpha пересекает по прямой, параллельной BC: проведём MN BC, тогда N — середина DC. Наконец, alpha пересекает грань SDC по прямой, параллельной SC: NK SC, и так как N — середина DC, точка K — середина SD. б) Высота пирамиды падает в центр O основания. Опустим KH перпендикулярно плоскости основания. Так как KH SO и K — середина SD, отрезок KH — средняя линия треугольника SDO, поэтому DH=HO и KH=12 SO. Проведём через H прямую, параллельную AD, пересекающую AB и DC в точках E и F. Тогда FH=12 NO=6, значит DF=FN=AE=EM=6 и EH=EF-FH=24-6=18. Из прямоугольного треугольника EHM: HM^2=EH^2+EM^2=18^2+6^2=360, HM=6sqrt(10). Так как HM — проекция MK на плоскость основания, угол KMH=30^, поэтому KH=HM*tan 30^=6sqrt(10)*(1)/(3)=2sqrt(30), SO=2KH=4sqrt(30). Объём пирамиды: V=13* S_(ABCD)* SO=13* 24^2* 4sqrt(30)=768sqrt(30). Ответ: б) 768sqrt(30).

б) \(768\sqrt{30}\)