В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина бокового ребра SC , на рёбрах AS и BS отмечены точки K и L соответственно так, что AK : KS = SL : LB = 3 : 1 . Сторона основания пирамиды равна 6 , а высота пирамиды равна (11)/(sqrt(13)) . а) Докажите, что угол между плоскостью ABC и плоскостью KML равен 30^ . б) Найдите расстояние от точки S до плоскости KML .

Введём систему координат: начало в центре O основания, ось z направлена вверх. Тогда S = (0; 0; h) , где h = (11)/(sqrt(13)) . Вершины основания (равносторонний треугольник со стороной 6 , центроид в O ): A = (2sqrt(3); 0; 0) , B = (-sqrt(3); 3; 0) , C = (-sqrt(3); -3; 0) . Координаты точек K , L , M : 1. M — середина SC : M = ( -(sqrt(3))/(2); -(3)/(2); (h)/(2) ). 2. K на AS с AK : KS = 3 : 1 : K = (1)/(4)A + (3)/(4)S = ( (sqrt(3))/(2); 0; (3h)/(4) ). 3. L на BS с SL : LB = 3 : 1 : L = (1)/(4)S + (3)/(4)B = ( -(3sqrt(3))/(4); (9)/(4); (h)/(4) ). а) Угол между плоскостью KML и плоскостью ABC . Найдём направляющие векторы: KM = ( -sqrt(3); -(3)/(2); -(h)/(4) ), KL = ( -(5sqrt(3))/(4); (9)/(4); -(h)/(2) ). Векторное произведение KM * KL при h = 11/sqrt(13) после упрощения пропорционально вектору n = (7; -sqrt(3); -2sqrt(39)) . Найдём длину вектора n : |n| = sqrt(49 + 3 + 156) = sqrt(208) = 4sqrt(13). Косинус угла alpha между плоскостью KML и плоскостью основания (нормаль e_z = (0; 0; 1) ): = (|n * e_z|)/(|n|) = (2sqrt(39))/(4sqrt(13)) = (sqrt(3))/(2). Следовательно, alpha = 30^ , что и требовалось доказать. б) Расстояние от S до плоскости KML . Уравнение плоскости KML с нормалью n и проходящей через точку K : 7x - sqrt(3)y - 2sqrt(39)z + 13sqrt(3) = 0. Расстояние от точки S( 0; 0; (11)/(sqrt(13)) ) до плоскости вычисляется по формуле: d = (| 7 * 0 - sqrt(3) * 0 - 2sqrt(39) * 11sqrt(13) + 13sqrt(3) |)/(4sqrt(13)). Вычислим числитель: | -2sqrt(3) * sqrt(13) * (11)/(sqrt(13)) + 13sqrt(3) | = |-22sqrt(3) + 13sqrt(3)| = 9sqrt(3). Тогда расстояние: d = (9sqrt(3))/(4sqrt(13)) = (9sqrt(39))/(52). Ответ: d = (9sqrt(39))/(52) .

Б) $\dfrac{9\sqrt{39}}{52}$