Задача №16731

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точка $M$ — середина бокового ребра $SC\text{,}$ на рёбрах $AS$ и $BS$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно так, что $AK:KS=SL:LB=3:1\text{.}$ Сторона основания пирамиды равна $6\text{,}$ а высота пирамиды равна $\frac{11}{\sqrt{13}}\text{.}$

а) Докажите, что угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $KML$ равен $30^{\circ }\text{.}$
б) Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $KML\text{.}$

Введём систему координат: начало в центре $O$ основания, ось $z$ направлена вверх. Тогда $S=(0;0;h)\text{,}$ где $h=\frac{11}{\sqrt{13}}\text{.}$

Вершины основания (равносторонний треугольник со стороной $6\text{,}$ центроид в $O$):
$A=(2\sqrt{3};0;0)\text{,}$ $B=(-\sqrt{3};3;0)\text{,}$ $C=(-\sqrt{3};-3;0)\text{.}$

Координаты точек $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{:}$

1. $M$ — середина $SC\text{:}$

$$M=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{3}{2};\frac{h}{2}\right).$$

2. $K$ на $AS$ с $AK:KS=3:1\text{:}$

$$K=\frac{1}{4}A+\frac{3}{4}S=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;\frac{3h}{4}\right).$$

3. $L$ на $BS$ с $SL:LB=3:1\text{:}$

$$L=\frac{1}{4}S+\frac{3}{4}B=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4};\frac{9}{4};\frac{h}{4}\right).$$

а) Угол между плоскостью $KML$ и плоскостью $ABC\text{.}$

Найдём направляющие векторы:

$$\overrightarrow{KM}=\left(-\sqrt{3};-\frac{3}{2};-\frac{h}{4}\right),\overrightarrow{KL}=\left(-\frac{5\sqrt{3}}{4};\frac{9}{4};-\frac{h}{2}\right).$$

Векторное произведение $\overrightarrow{KM}\times \overrightarrow{KL}$ при $h=11/\sqrt{13}$ после упрощения пропорционально вектору $\vec{n}=(7;-\sqrt{3};-2\sqrt{39})\text{.}$

Найдём длину вектора $\vec{n}\text{:}$

$$|\vec{n}|=\sqrt{49+3+156}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}.$$

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью $KML$ и плоскостью основания (нормаль ${\vec{e}}_z=(0;0;1)$):

$$\cos \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{e}}_z|}{|\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{39}}{4\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, $\alpha =30^{\circ }\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Расстояние от $S$ до плоскости $KML\text{.}$

Уравнение плоскости $KML$ с нормалью $\vec{n}$ и проходящей через точку $K\text{:}$

$$7x-\sqrt{3}y-2\sqrt{39}z+13\sqrt{3}=0.$$

Расстояние от точки $S\left(0;0;\frac{11}{\sqrt{13}}\right)$ до плоскости вычисляется по формуле:

$$d=\frac{\left|7\cdot 0-\sqrt{3}\cdot 0-2\sqrt{39}\cdot \frac{11}{\sqrt{13}}+13\sqrt{3}\right|}{4\sqrt{13}}.$$

Вычислим числитель:

$$\left|-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}\cdot \frac{11}{\sqrt{13}}+13\sqrt{3}\right|=|-22\sqrt{3}+13\sqrt{3}|=9\sqrt{3}.$$

Тогда расстояние:

$$d=\frac{9\sqrt{3}}{4\sqrt{13}}=\frac{9\sqrt{39}}{52}.$$

Ответ: $d=\frac{9\sqrt{39}}{52}\text{.}$