В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 2 . Плоскость alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC . а) Докажите, что плоскость alpha параллельна прямой SA . б) Найдите угол между плоскостями alpha и SBC .

а) Пусть M — точка на ребре AB , такая что AM : MB = 1 : 2 . Поскольку на ребре CD точка N делит его в отношении DN : NC = 1 : 2 , отрезок MN параллелен AD и BC . Следовательно, прямая MN лежит в плоскости alpha , так как alpha проходит через N и параллельна BC . В плоскости SBC через точку K проведём прямую, параллельную BC . Пусть она пересекает ребро SB в точке P . По теореме Фалеса для угла BSC имеем SP : PB = SK : KC = 1 : 2 . Прямая KP также лежит в плоскости alpha . Рассмотрим треугольник SAB . В нём точки M и P лежат на сторонах AB и SB соответственно. Имеем: (AM)/(AB) = (1)/(3) => (BM)/(BA) = (2)/(3) (SP)/(SB) = (1)/(3) => (BP)/(BS) = (2)/(3) Так как (BM)/(BA) = (BP)/(BS) , по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая MP параллельна SA . Поскольку прямая MP лежит в плоскости alpha , плоскость alpha параллельна прямой SA . б) Пусть O — центр основания пирамиды, E — середина BC , F — середина AD . Тогда FE = 6 , O — середина FE . Пирамида правильная, поэтому высота SO перпендикулярна основанию. Плоскость SFE перпендикулярна прямой BC . Так как плоскости alpha и SBC пересекаются по прямой, параллельной BC (это прямая KP ), то линейный угол между ними — это угол между их следами в плоскости SFE . В треугольнике ASC диагональ основания AC = 6sqrt(2) , AO = 3sqrt(2) . Высота пирамиды: SO = sqrt(SA^2 - AO^2) = sqrt(49 - 18) = sqrt(31) Введём на плоскости SFE систему координат с началом в O . Тогда E(3; 0) , F(-3; 0) , S(0; sqrt(31)) . Прямая SE (след плоскости SBC ) имеет направляющий вектор v_1(-3; sqrt(31)) . Прямая MN проектируется в точку Q(-1; 0) на отрезке FE . Прямая KP проектируется в точку K' на отрезке SE . Так как SK : KC = 1 : 2 , то K' делит SE в отношении 1 : 2 : K' = (2S + 1E)/(3) = ( (0 + 3)/(3); (2sqrt(31) + 0)/(3) ) = ( 1; (2sqrt(31))/(3) ) Направляющий вектор следа плоскости alpha (прямой QK' ) равен v_2( 2; (2sqrt(31))/(3) ) . Пусть — угол между плоскостями. Тогда: cos = (|v_1* v_2|)/(|v_1| * |v_2|) = (|-3 * 2 + sqrt(31) * 2sqrt(31)3|)/(sqrt(9 + 31) * sqrt(4 + 1249)) = (|-6 + 623|)/(sqrt(40) * sqrt(1609)) = (443)/(2sqrt(10) * 4sqrt(10)3) = (44)/(80) = (11)/(20) Следовательно, = arccos(11)/(20) . Ответ: б) arccos(11)/(20)

а) Доказано б) \arccos\dfrac{11}{20}