Задача №17167: Графики функций

На рисунке изображён график функции $f (x) = \frac{k x + a}{x + b} .$ Найдите $a .$

(На графике: горизонтальная асимптота $y = 2,$ вертикальная асимптота $x = 3,$ точка $A (2; 0)$ принадлежит графику.)

Решение.

1) Горизонтальная асимптота $y = 2$ означает, что

x \to \infty lim f (x) = k = 2.

Следовательно, $k = 2 .$

2) Вертикальная асимптота $x = 3$ означает, что знаменатель обращается в ноль при $x = 3 :$

x + b = 0 \Rightarrow b = - 3.

3) Точка $A (2; 0)$ на графике даёт

0 = \frac{2 \cdot 2 + a}{2 - 3} = \frac{4 + a}{- 1},

то есть $4 + a = 0,$ откуда $a = - 4 .$

Ответ: $- 4 .$