15-го марта планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — в первые два месяца (апрель и май) клиент вносит равные платежи по 240 тысяч рублей; — начиная с третьего месяца (июнь) и до конца срока долг на 15-е число каждого месяца должен быть на 30 тысяч рублей меньше, чем долг на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 15-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения составила 1006,5 тысячи рублей. Найдите сумму кредита (в тысячах рублей).

Пусть S — сумма кредита (в тыс. руб.), p = 1,05 — коэффициент роста (с учётом 5%), r = 0,05 . Долг 1-го числа очередного месяца равен долгу 15-го числа предыдущего месяца, умноженному на p . Обозначим S_k — долг 15-го числа k -го месяца. По условию S_(15) = 0 , а при k 3 выполнено S_(k-1) - S_k = 30 . 1. Месяцы 1 и 2 (выплаты по 240 тыс. руб.): S_1 = pS - 240 ; S_2 = p * S_1 - 240 = p^2 S - 240p - 240 . 2. Месяцы 3–15. По условию S_k = S_2 - 30(k - 2) для k = 2, 3, , 15 . Значит, S_(15) = S_2 - 13 * 30 = S_2 - 390 . Из S_(15) = 0 получаем S_2 = 390 , то есть p^2 S - 240p - 240 = 390 : 1,1025 * S = 240 * 1,05 + 240 + 390 = 252 + 240 + 390 = 882 => S = 800. Проверка общей суммы выплат. Выплата месяца k (для k 3 ) равна r * S_(k-1) + 30 . Сумма всех выплат: 240 + 240 + _(k=3)^(15) (r * S_(k-1) + 30) = 480 + 13 * 30 + 0,05 * _(j=2)^(14) S_j. Значения S_2, S_3, , S_(14) образуют арифметическую прогрессию 390, 360, , 30 , её сумма: ((390 + 30) * 13)/(2) = 2730. Итог: 480 + 390 + 0,05 * 2730 = 870 + 136,5 = 1006,5 — совпадает с условием. Ответ: 800.

$800$