Задача №17127

15-го марта планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— в первые два месяца (апрель и май) клиент вносит равные платежи по 240 тысяч рублей;
— начиная с третьего месяца (июнь) и до конца срока долг на 15-е число каждого месяца должен быть на 30 тысяч рублей меньше, чем долг на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 15-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения составила 1006,5 тысячи рублей.

Найдите сумму кредита (в тысячах рублей).

Пусть $S$ — сумма кредита (в тыс. руб.), $p=1,05$ — коэффициент роста (с учётом 5%), $r=0,05\text{.}$ Долг 1-го числа очередного месяца равен долгу 15-го числа предыдущего месяца, умноженному на $p\text{.}$

Обозначим $S_k$ — долг 15-го числа $k$-го месяца. По условию $S_{15}=0\text{,}$ а при $k⩾3$ выполнено $S_{k-1}-S_k=30\text{.}$

1. Месяцы 1 и 2 (выплаты по 240 тыс. руб.):
$S_1=pS-240\text{;}$
$S_2=p\cdot S_1-240=p^{2}S-240p-240\text{.}$

2. Месяцы 3–15. По условию $S_k=S_2-30(k-2)$ для $k=2,3,\dots ,15\text{.}$ Значит, $S_{15}=S_2-13\cdot 30=S_2-390\text{.}$

Из $S_{15}=0$ получаем $S_2=390\text{,}$ то есть $p^{2}S-240p-240=390\text{:}$

$$1,1025\cdot S=240\cdot 1,05+240+390=252+240+390=882\Rightarrow S=800.$$

Проверка общей суммы выплат. Выплата месяца $k$ (для $k⩾3$) равна $r\cdot S_{k-1}+30\text{.}$ Сумма всех выплат:

$$240+240+\sum _{k=3}^{15}(r\cdot S_{k-1}+30)=480+13\cdot 30+0,05\cdot \sum _{j=2}^{14}{S}_j.$$

Значения $S_2,S_3,\dots ,S_{14}$ образуют арифметическую прогрессию $390,360,\dots ,30\text{,}$ её сумма:

$$\frac{(390+30)\cdot 13}{2}=2730.$$

Итог: $480+390+0,05\cdot 2730=870+136,5=1006,5$ — совпадает с условием.

Ответ: 800.