Задача №15444

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев.

Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Кредит 900 тыс. рублей на 11 месяцев. Долг с 1 по 10 месяц уменьшается на одну и ту же сумму $d\text{.}$

На 10 месяц долг составляет 200 тыс. рублей:

$$900-10d=200\Rightarrow 10d=700\Rightarrow d=70\text{ тыс. рублей}.$$

Остатки долга после выплаты (в тыс. рублей): $D_0=900\text{,}$ $D_1=830\text{,}$ $D_2=760\text{,}$ $D_3=690\text{,}$ $D_4=620\text{,}$ $D_5=550\text{,}$ $D_6=480\text{,}$ $D_7=410\text{,}$ $D_8=340\text{,}$ $D_9=270\text{,}$ $D_{10}=200\text{.}$

Выплаты за месяцы 1-10: $70+\frac{r}{100}\cdot D_{k-1}\text{.}$

Выплата за 11 месяц: $200\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)\text{.}$

Общая сумма выплат:

$$10\cdot 70+\frac{r}{100}(D_0+D_1+\dots +D_9)+200\left(1+\frac{r}{100}\right)=700+\frac{r}{100}\cdot S+200+\frac{200r}{100},$$

где $S=D_0+D_1+\dots +D_9\text{.}$

Сумма $S$ — арифметическая прогрессия:

$$S=\frac{900+270}{2}\cdot 10=5850.$$

Тогда:

$$900+\frac{r}{100}\cdot 5850+\frac{200r}{100}=900+\frac{r}{100}\cdot 6050=900+60,5r.$$

По условию общая сумма выплат равна 1021 тыс. рублей:

$$900+60,5r=1021.$$ $$60,5r=121.$$ $$r=\frac{121}{60,5}=2.$$

Ответ: $r=2\%\text{.}$