Задача №15434

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Пусть все суммы в рублях. Исходный кредит: 1050 тыс. руб. = 1 050 000 руб.

В январе каждого года долг увеличивается на 10%.

По условию, после выплат в 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равным 1 050 000 руб. Это означает, что в каждый из этих годов выплачиваются только проценты: 10% от 1 050 000 = 105 000 руб. Таким образом, первая выплата (в 2027 году) составляет 105 000 руб.

Пусть выплаты в 2030 и 2031 годах равны $X$ руб.

В январе 2030 года долг $1050000$ руб. увеличивается до $1050000\cdot 1.1=1155000$ руб.
После выплаты $X$ руб. долг становится $D=1155000-X$ руб.

В январе 2031 года долг $D$ увеличивается до $1.1D$ руб.
После выплаты $X$ руб. долг становится равным нулю:

$$1.1D=X$$

Подставляем $D\text{:}$

$$1.1(1155000-X)=X$$ $$1270500-1.1X=X$$ $$1270500=2.1X$$ $$X=\frac{1270500}{2.1}=605000\text{ руб.}$$

Последняя выплата (в 2031 году) равна $605000$ руб., первая выплата $105000$ руб.

Ответ: $500000$ рублей.