От двух причалов, расстояние между которыми 15 км, вниз по реке одновременно отплыли две лодки. Оба раза, когда одна из лодок находилась в 20 км от своего причала, расстояния между лодками были равны. Найдите это расстояние в км.

Пусть лодки движутся вниз по реке со скоростями v_1 и v_2 относительно берега. Пусть первый причал находится в точке 0 , второй — в точке 15 (вниз по течению). Положения лодок в момент времени t задаются уравнениями: x_1(t) = v_1 t, x_2(t) = 15 + v_2 t. Расстояния от соответствующих причалов составляют v_1 t и v_2 t . 1. Момент времени t_1 , когда первая лодка находится в 20 км от причала: v_1 t_1 = 20 => t_1 = (20)/(v_1). Расстояние между лодками в этот момент: d_1 = |x_2(t_1) - x_1(t_1)| = | 15 + v_2 * (20)/(v_1) - 20 | = | (20 v_2)/(v_1) - 5 |. 2. Момент времени t_2 , когда вторая лодка находится в 20 км от причала: v_2 t_2 = 20 => t_2 = (20)/(v_2). Расстояние между лодками в этот момент: d_2 = |x_2(t_2) - x_1(t_2)| = | 15 + 20 - v_1 * (20)/(v_2) | = | 35 - (20 v_1)/(v_2) |. Обозначим r = (v_1)/(v_2) . По условию задачи d_1 = d_2 : | (20)/(r) - 5 | = |35 - 20r|. Рассмотрим случай, когда выражения под знаком модуля имеют разные знаки (так как лодки движутся): (20)/(r) - 5 = -(35 - 20r), (20)/(r) - 5 = -35 + 20r, (20)/(r) - 20r = -30. Разделим на -10 и умножим на r : 2r^2 - 3r - 2 = 0. Решим квадратное уравнение: D = 9 - 4 * 2 * (-2) = 25 = 5^2, r = (3 +- 5)/(4). Так как скорости положительны, r = 2 . При r = 2 искомое расстояние равно: d_1 = | (20)/(2) - 5 | = 5. Проверка для d_2 : d_2 = |35 - 20 * 2| = |35 - 40| = 5. Ответ: 5

5