От двух причалов, расстояние между которыми 15 км, вниз по реке одновременно отплыли две лодки. Оба раза, когда одна из лодок находилась в 20 км от своего причала, расстояния между лодками были равны. Найдите это расстояние в км.
Пусть лодки движутся вниз по реке со скоростями v1 и v2 относительно берега. Пусть первый причал находится в точке 0, второй — в точке 15 (вниз по течению).
Положения лодок в момент времени t задаются уравнениями:
x1(t)=v1t, x2(t)=15+v2t.Расстояния от соответствующих причалов составляют v1t и v2t.
1. Момент времени t1, когда первая лодка находится в 20 км от причала:
v1t1=20⇒t1=v120.Расстояние между лодками в этот момент:
d1=∣x2(t1)−x1(t1)∣=15+v2⋅v120−20=v120v2−5.2. Момент времени t2, когда вторая лодка находится в 20 км от причала:
v2t2=20⇒t2=v220.Расстояние между лодками в этот момент:
d2=∣x2(t2)−x1(t2)∣=15+20−v1⋅v220=35−v220v1.Обозначим r=v2v1. По условию задачи d1=d2:
r20−5=∣35−20r∣.Рассмотрим случай, когда выражения под знаком модуля имеют разные знаки (так как лодки движутся):
r20−5=−(35−20r), r20−5=−35+20r, r20−20r=−30.Разделим на −10 и умножим на r:
2r2−3r−2=0.Решим квадратное уравнение:
D=9−4⋅2⋅(−2)=25=52, r=43±5.Так как скорости положительны, r=2.
При r=2 искомое расстояние равно:
d1=220−5=5.Проверка для d2:
d2=∣35−20⋅2∣=∣35−40∣=5.Ответ: 5
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Текстовые и прикладные
Ларин