Задача №16991

Бригада из 11 человек за день может выполнить заказы на общую сумму 50 000 рублей, а бригада из 17 человек — на сумму 100 000 рублей. Всего в фирме работают 798 человек. На какую максимальную сумму в день они могут выполнить заказы, если на день могут формировать бригады только из 11 и 17 человек?

Пусть $k$ — число бригад по 11 человек, $n$ — число бригад по 17 человек, $k,n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}\text{.}$ Ограничение: $11k+17n⩽798$ (общее число работающих).

Сумма выручки:

Так как у бригады из 17 человек удельная выручка на одного работника $\frac{100000}{17}\approx 5882$ руб./чел больше, чем у бригады из 11 человек ($\frac{50000}{11}\approx 4545$ руб./чел), для максимизации $f$ выгодно использовать как можно больше бригад по 17 человек.

Подберём минимальное $k\text{,}$ при котором $798-11k$ делится на 17:

1. $k=0\text{:}$ $798/17=46,94\dots$ — не делится;
2. $k=1\text{:}$ $787/17=46,29\dots$ — не делится;
3. $k=2\text{:}$ $776/17=45,65\dots$ — не делится;
4. $k=3\text{:}$ $765/17=45$ — делится. Берём $k=3\text{,}$ $n=45\text{.}$

При $k=3\text{,}$ $n=45\text{:}$

то есть все работники задействованы.

Тогда:

Проверка: при $n=46\text{,}$ $k=1$ имеем $11+782=793⩽798\text{,}$ $f=50000+4600000=4650000$ — то же значение, что подтверждает максимум.

Ответ: 4 650 000 рублей.