Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
Ларин
IT-компания закупает кластер серверов за 212 млн рублей для обучения нейросети, генерирующей идеальные отговорки для невыполненных домашек. Затраты на обработку x петабайт данных равны 0,5x2+2x+10 млн рублей в год. Прибыль с продажи обработанных данных по цене p млн руб. за петабайт составит px−(0,5x2+2x+10). Важное ограничение: из-за слабой системы охлаждения (сисадмин поставил комнатный вентилятор), серверы физически не могут обрабатывать более 8 петабайт данных в год (x⩽8). Компания настраивает нагрузку так, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p серверы окупятся не более чем за 2 года?
Пусть компания обрабатывает x петабайт (0⩽x⩽8). Прибыль за год задаётся функцией:
Π(x)=px−(0,5x2+2x+10).Найдём максимум этой функции. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём точку максимума:
Π′(x)=p−x−2=0⇒x∗=p−2.Рассмотрим два случая в зависимости от положения вершины относительно ограничения x⩽8:
1. Если p−2⩽8, то есть p⩽10, тогда максимум достигается в точке x∗=p−2:
Πmax=p(p−2)−(0,5(p−2)2+2(p−2)+10)=0,5p2−2p−8.2. Если p−2>8, то есть p>10, тогда функция Π(x) возрастает на промежутке [0;8], и максимум достигается на правой границе в точке x∗=8:
Πmax=8p−(0,5⋅82+2⋅8+10)=8p−(32+16+10)=8p−58.По условию серверы должны окупиться не более чем за 2 года, то есть суммарная прибыль за 2 года должна быть не менее стоимости кластера:
2Πmax⩾212⟺Πmax⩾106.Проверим первый случай (p⩽10):
0,5p2−2p−8⩾106⟺p2−4p−228⩾0.Найдём корни уравнения p2−4p−228=0:
D=16+4⋅228=16+912=928=16⋅58. p=24±458=2±258.Так как 58≈7,6, то 2+258≈17,2. Условие p⩾17,2 не пересекается с ограничением первого случая p⩽10.
Проверим второй случай (p>10):
8p−58⩾106⟺8p⩾164⟺p⩾20,5.Наименьшее значение p=20,5 удовлетворяет условию p>10.
Ответ: 20,5.