IT-компания закупает кластер серверов за 212 млн рублей для обучения нейросети, генерирующей идеальные отговорки для невыполненных домашек. Затраты на обработку x петабайт данных равны 0,5x^2 + 2x + 10 млн рублей в год. Прибыль с продажи обработанных данных по цене p млн руб. за петабайт составит px - (0,5x^2 + 2x + 10) . Важное ограничение: из-за слабой системы охлаждения (сисадмин поставил комнатный вентилятор), серверы физически не могут обрабатывать более 8 петабайт данных в год ( x 8 ). Компания настраивает нагрузку так, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p серверы окупятся не более чем за 2 года?

Пусть компания обрабатывает x петабайт ( 0 x 8 ). Прибыль за год задаётся функцией: (x) = px - (0,5x^2 + 2x + 10). Найдём максимум этой функции. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём точку максимума: '(x) = p - x - 2 = 0 => x^* = p - 2. Рассмотрим два случая в зависимости от положения вершины относительно ограничения x 8 : 1. Если p - 2 8 , то есть p 10 , тогда максимум достигается в точке x^* = p - 2 : _() = p(p - 2) - (0,5(p - 2)^2 + 2(p - 2) + 10) = 0,5p^2 - 2p - 8. 2. Если p - 2 > 8 , то есть p > 10 , тогда функция (x) возрастает на промежутке [0; 8] , и максимум достигается на правой границе в точке x^* = 8 : _() = 8p - (0,5 * 8^2 + 2 * 8 + 10) = 8p - (32 + 16 + 10) = 8p - 58. По условию серверы должны окупиться не более чем за 2 года, то есть суммарная прибыль за 2 года должна быть не менее стоимости кластера: 2_() 212 _() 106. Проверим первый случай ( p 10 ): 0,5p^2 - 2p - 8 106 p^2 - 4p - 228 0. Найдём корни уравнения p^2 - 4p - 228 = 0 : D = 16 + 4 * 228 = 16 + 912 = 928 = 16 * 58. p = (4 +- 4sqrt(58))/(2) = 2 +- 2sqrt(58). Так как sqrt(58) ~ 7,6 , то 2 + 2sqrt(58) ~ 17,2 . Условие p 17,2 не пересекается с ограничением первого случая p 10 . Проверим второй случай ( p > 10 ): 8p - 58 106 8p 164 p 20,5. Наименьшее значение p = 20,5 удовлетворяет условию p > 10 . Ответ: 20,5.

20,5