Пенсионный фонд «Вечная жизнь» владеет ценными бумагами, которые стоят k2 тыс. рублей в конце года k (k=1,2,…). В конце любого года фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года следует продать ценные бумаги и переложить деньги в банк, чтобы к концу тридцать пятого года сумма на счёте была наибольшей?
Обозначим n — номер года, в конце которого фонд продаёт ценные бумаги. Стоимость на момент продажи составляет n2 тыс. рублей. Деньги кладутся в банк под 20% годовых на (35−n) лет, поэтому к концу 35-го года сумма составит
an=n2⋅1,235−n,n=1,2,…,35.Для нахождения максимума рассмотрим приращение δn=an−an−1:
δn=an−an−1=1,235−n⋅(n2−1,2(n−1)2)=1,235−n⋅(n2−1,2(n2−2n+1)); δn=1,235−n⋅(−0,2n2+2,4n−1,2)=−0,2⋅1,235−n⋅(n2−12n+6).Знак δn определяется знаком выражения −(n2−12n+6). Корни квадратного трёхчлена n2−12n+6=0:
n=6±30, то есть n1≈0,52 и n2≈11,48.
Выражение n2−12n+6 отрицательно при n∈(0,52;11,48). В этом случае δn>0, то есть последовательность возрастает. При n⩾12 выражение n2−12n+6 положительно, следовательно, δn<0 и последовательность убывает.
Таким образом, an растёт при n⩽11 и убывает при n⩾12. Максимальное значение достигается при n=11.
Ответ: 11.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
Ларин