Пенсионный фонд «Вечная жизнь» владеет ценными бумагами, которые стоят k^2 тыс. рублей в конце года k ( k = 1, 2, ). В конце любого года фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года следует продать ценные бумаги и переложить деньги в банк, чтобы к концу тридцать пятого года сумма на счёте была наибольшей?

Обозначим n — номер года, в конце которого фонд продаёт ценные бумаги. Стоимость на момент продажи составляет n^2 тыс. рублей. Деньги кладутся в банк под 20% годовых на (35 - n) лет, поэтому к концу 35-го года сумма составит a_n = n^2 * 1,2^(35-n), n = 1, 2, , 35. Для нахождения максимума рассмотрим приращение _n = a_n - a_(n-1) : _n = a_n - a_(n-1) = 1,2^(35-n) * (n^2 - 1,2 (n-1)^2) = 1,2^(35-n) * (n^2 - 1,2(n^2 - 2n + 1)); _n = 1,2^(35-n) * (-0,2n^2 + 2,4n - 1,2) = -0,2 * 1,2^(35-n) * (n^2 - 12n + 6). Знак _n определяется знаком выражения -(n^2 - 12n + 6) . Корни квадратного трёхчлена n^2 - 12n + 6 = 0 : n = 6 +- sqrt(30) , то есть n_1 ~ 0,52 и n_2 ~ 11,48 . Выражение n^2 - 12n + 6 отрицательно при n in (0,52; 11,48) . В этом случае _n > 0 , то есть последовательность возрастает. При n 12 выражение n^2 - 12n + 6 положительно, следовательно, _n < 0 и последовательность убывает. Таким образом, a_n растёт при n 11 и убывает при n 12 . Максимальное значение достигается при n = 11 . Ответ: 11.

11