Имеются три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключённую в пределах от 16 тыс. руб до 20 тыс. руб включительно, а цена одной акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Пусть n_1, n_2, n_3 — количество акций в пакетах 1, 2, 3 (тыс. шт. — не важно), p_1, p_2, p_3 — цены одной акции (тыс. руб). Из условий задачи: 1. n_1 + n_2 = n_3 ; 2. 4 n_1 p_1 = n_2 p_2 , то есть S_2 = 4 S_1 ; 3. n_1 p_1 + n_2 p_2 = n_3 p_3 , то есть S_3 = S_1 + S_2 = 5 S_1 ; 4. p_2 - p_1 = d in [16; 20] ; 5. p_3 in [42; 60] . Связь между параметрами. Из (3): n_3 p_3 = 5 n_1 p_1 =>n_3 = (5 n_1 p_1)/(p_3). Из (1): n_1 + n_2 + n_3 = 2 n_3 . Поэтому доля акций первого пакета равна (n_1)/(n_1+n_2+n_3) = (n_1)/(2 n_3) = (n_1 p_3)/(10 n_1 p_1) = (p_3)/(10 p_1). Значит, процент первого пакета равен P = (p_3)/(10 p_1) * 100% = (10 p_3)/(p_1)%. Выразим p_3 через p_1 и d . Из (2): n_2 = (4 n_1 p_1)/(p_2) . Подставим в (1): n_1 + (4 n_1 p_1)/(p_2) = (5 n_1 p_1)/(p_3). Сократим на n_1 и приведём к общему знаменателю: (p_2 + 4 p_1)/(p_2) = (5 p_1)/(p_3) =>p_3 = (5 p_1 p_2)/(p_2 + 4 p_1) = (5 p_1 (p_1 + d))/(5 p_1 + d). Полезно ввести t = (p_3)/(p_1) . Тогда t = (5 (p_1 + d))/(5 p_1 + d), P = 10 t%. Исследование на экстремумы. Частные производные: ( t)/( p_1) = (-20 d)/((5 p_1 + d)^2) < 0 (убывание по p_1), ( t)/( d) = (20 p_1)/((5 p_1 + d)^2) > 0 (возрастание по d). Также легко проверить, что при фиксированном d функция p_3(p_1) = (5 p_1 (p_1+d))/(5 p_1 + d) строго возрастает по p_1 . То есть переход от p_1 к p_3 — монотонная замена переменной. Значит: t_() (а с ним P_() ) достигается при максимальном p_1 (т. е. p_3 = 60 ) и минимальном d = 16 . t_() (а с ним P_() ) достигается при минимальном p_1 (т. е. p_3 = 42 ) и максимальном d = 20 . Минимум: d = 16 , p_3 = 60 . 60 = (5 p_1 (p_1 + 16))/(5 p_1 + 16) =>60 (5 p_1 + 16) = 5 p_1 (p_1 + 16), 300 p_1 + 960 = 5 p_1^2 + 80 p_1 =>p_1^2 - 44 p_1 - 192 = 0. Дискриминант D = 44^2 + 4 * 192 = 1936 + 768 = 2704 = 52^2 . Положительный корень: p_1 = (44 + 52)/(2) = 48 тыс. руб. Тогда p_2 = 64 , и t_() = (60)/(48) = (5)/(4) , P_() = 12,5% . Максимум: d = 20 , p_3 = 42 . 42 = (5 p_1 (p_1 + 20))/(5 p_1 + 20) =>42 (5 p_1 + 20) = 5 p_1 (p_1 + 20), 210 p_1 + 840 = 5 p_1^2 + 100 p_1 =>p_1^2 - 22 p_1 - 168 = 0. Дискриминант D = 484 + 672 = 1156 = 34^2 . Положительный корень: p_1 = (22 + 34)/(2) = 28 тыс. руб. Тогда p_2 = 48 , и t_() = (42)/(28) = (3)/(2) , P_() = 15% . Проверка достижимости промежуточных значений. Доля (n_1)/(n_1+n_2+n_3) зависит непрерывно от p_1 и d , изменяющихся на отрезках, поэтому весь диапазон [12,5%;15%] достижим. Ответ: наименьший процент — 12,5% , наибольший — 15% .

Наименьший — 12,5%, наибольший — 15%