Задача №16465

Имеются три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключённую в пределах от 16 тыс. руб до 20 тыс. руб включительно, а цена одной акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Пусть $n_1,n_2,n_3$ — количество акций в пакетах 1, 2, 3 (тыс. шт. — не важно), $p_1,p_2,p_3$ — цены одной акции (тыс. руб). Из условий задачи:

1. $n_1+n_2=n_3\text{;}$
2. $4n_1{p}_1=n_2{p}_2\text{,}$ то есть $S_2=4S_1\text{;}$
3. $n_1{p}_1+n_2{p}_2=n_3{p}_3\text{,}$ то есть $S_3=S_1+S_2=5S_1\text{;}$
4. $p_2-p_1=d\in [16;20]\text{;}$
5. $p_3\in [42;60]\text{.}$

Связь между параметрами.

Из (3):

Из (1): $n_1+n_2+n_3=2n_3\text{.}$ Поэтому доля акций первого пакета равна

Значит, процент первого пакета равен

Выразим $p_3$ через $p_1$ и $d\text{.}$

Из (2): $n_2=\frac{4n_1{p}_1}{p_2}\text{.}$ Подставим в (1):

Сократим на $n_1$ и приведём к общему знаменателю:

Полезно ввести $t=\frac{p_3}{p_1}\text{.}$ Тогда

Исследование на экстремумы.

Частные производные:

Также легко проверить, что при фиксированном $d$ функция $p_3(p_1)=\frac{5p_1(p_1+d)}{5p_1+d}$ строго возрастает по $p_1\text{.}$ То есть переход от $p_1$ к $p_3$ — монотонная замена переменной.

Значит:

$t_{\min }$ (а с ним $P_{\min }$) достигается при максимальном $p_1$ (т. е. $p_3=60$) и минимальном $d=16\text{.}$

$t_{\max }$ (а с ним $P_{\max }$) достигается при минимальном $p_1$ (т. е. $p_3=42$) и максимальном $d=20\text{.}$

Минимум: $d=16\text{,}$ $p_3=60\text{.}$

Дискриминант $D=44^2+4\cdot 192=1936+768=2704=52^2\text{.}$ Положительный корень:

Тогда $p_2=64\text{,}$ и $t_{\min }=\frac{60}{48}=\frac{5}{4}\text{,}$ $P_{\min }=12,5\%\text{.}$

Максимум: $d=20\text{,}$ $p_3=42\text{.}$

Дискриминант $D=484+672=1156=34^2\text{.}$ Положительный корень:

Тогда $p_2=48\text{,}$ и $t_{\max }=\frac{42}{28}=\frac{3}{2}\text{,}$ $P_{\max }=15\%\text{.}$

Проверка достижимости промежуточных значений.

Доля $\frac{n_1}{n_1+n_2+n_3}$ зависит непрерывно от $p_1$ и $d\text{,}$ изменяющихся на отрезках, поэтому весь диапазон $[12,5\%;15\%]$ достижим.

Ответ: наименьший процент — $12,5\%\text{,}$ наибольший — $15\%\text{.}$