Задача №16961

Вершину треугольника соединили отрезком с серединой его медианы. Второй отрезок проходит через основание медианы и параллелен первому. Найдите отношение большего из этих параллельных отрезков к меньшему.

На рисунке изображён треугольник, в котором проведена медиана из одной вершины к противолежащей стороне; через середину медианы проведён отрезок к одной из вершин основания, а через основание медианы — параллельный ему отрезок.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM\text{,}$ где $M$ — середина $BC\text{.}$ Обозначим $K$ — середину медианы $AM\text{.}$ По условию $K$ соединена с одной из вершин основания, например, с $B$ — это первый отрезок $BK\text{.}$ Второй отрезок проходит через $M$ (основание медианы) параллельно $BK$ и пересекает сторону $AC$ в точке $P\text{.}$

Введём координаты: пусть $A(0;0)\text{,}$ $B(1;0)\text{,}$ $C(0;2)\text{.}$ Тогда:

1. $M\left(\frac{1}{2};1\right)$ — середина $BC\text{;}$
2. $K\left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$ — середина $AM\text{;}$
3. $BK\text{:}$ от $(1;0)$ к $\left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)\text{,}$ направляющий вектор $\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)\parallel (-3;2)\text{.}$

Прямая через $M$ с направлением $(-3;2)\text{:}$ $\left(\frac{1}{2}-3t;1+2t\right)\text{.}$ Пересечение с $AC$ (прямая $x=0$): $\frac{1}{2}-3t=0\Rightarrow t=\frac{1}{6}\text{.}$ Тогда $P\left(0;\frac{4}{3}\right)\text{.}$

Найдём длины:

$$|BK{|}^2={\left(\frac{3}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{16}+\frac{4}{16}=\frac{13}{16};$$ $$|MP{|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{13}{36}.$$

Найдём отношение:

$$\frac{|BK|}{|MP|}=\sqrt{\frac{13/16}{13/36}}=\sqrt{\frac{36}{16}}=\frac{6}{4}=1,5.$$

Ответ: 1,5