Сторона AB треугольника ABC равна 3sqrt(13) . На стороне BC отмечена точка K так, что KAC = B . Найдите площадь треугольника ABC , если BK = 9 , CK = 4 .

Рассмотрим треугольники ACK и BCA . У них общий угол C , а по условию KAC = ABC . Значит, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия получаем пропорцию: (AC)/(BC) = (CK)/(CA), откуда AC^2 = BC * CK . Так как BC = BK + KC = 9 + 4 = 13 и CK = 4 , имеем: AC^2 = 13 * 4 = 52, AC = 2sqrt(13). Итак, в треугольнике ABC : AB = 3sqrt(13) , BC = 13 , AC = 2sqrt(13) . Найдём площадь по формуле Герона. Полупериметр: p = (3sqrt(13) + 13 + 2sqrt(13))/(2) = (5sqrt(13) + 13)/(2). Тогда p(p-c) = ((5sqrt(13) + 13)(5sqrt(13) - 13))/(4) = ((5sqrt(13))^2 - 13^2)/(4) = (325 - 169)/(4) = (156)/(4) = 39, (p-a)(p-b) = ((13 - sqrt(13))(13 + sqrt(13)))/(4) = (169 - 13)/(4) = (156)/(4) = 39. Значит, S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = 39 * 39 = 1521, S = 39. Ответ: 39.

39