Задача №17115

Рассмотрим треугольники $ACK$ и $BCA\text{.}$ У них общий угол $C\text{,}$ а по условию $\angle KAC=\angle ABC\text{.}$ Значит, эти треугольники подобны по двум углам.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{CK}{CA},$$

откуда $A{C}^2=BC\cdot CK\text{.}$

Так как $BC=BK+KC=9+4=13$ и $CK=4\text{,}$ имеем:

$$A{C}^2=13\cdot 4=52,AC=2\sqrt{13}.$$

Итак, в треугольнике $ABC\text{:}$
$AB=3\sqrt{13}\text{,}$ $BC=13\text{,}$ $AC=2\sqrt{13}\text{.}$

Найдём площадь по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{3\sqrt{13}+13+2\sqrt{13}}{2}=\frac{5\sqrt{13}+13}{2}.$$

Тогда

$$p(p-c)=\frac{(5\sqrt{13}+13)(5\sqrt{13}-13)}{4}=\frac{(5\sqrt{13}{)}^2-13^2}{4}=\frac{325-169}{4}=\frac{156}{4}=39,$$ $$(p-a)(p-b)=\frac{(13-\sqrt{13})(13+\sqrt{13})}{4}=\frac{169-13}{4}=\frac{156}{4}=39.$$

Значит,

$$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=39\cdot 39=1521,$$ $$S=39.$$

Ответ: 39.