В треугольной призме ABCA_1B_1C_1 , объём которой равен V , проведено сечение, проходящее через ребро A_1B_1 призмы и среднюю линию KL треугольника ABC , параллельную ребру AB . Найдите отношение объёма многогранника KLCA_1B_1C_1 к объёму многогранника KLBAA_1B_1 .

KL — средняя линия треугольника ABC , параллельная AB . Значит K — середина CA , L — середина CB , и KL = (1)/(2)AB . Продолжим боковые рёбра многогранника KLCA_1B_1C_1 , то есть прямые KA_1 , LB_1 , CC_1 . Все они пересекаются в одной точке P (это вершина пирамиды, продолжающей усечённую пирамиду KLC-A_1B_1C_1 ). Действительно, треугольники KLC и A_1B_1C_1 лежат в параллельных плоскостях ABC и A_1B_1C_1 , подобны с коэффициентом (1)/(2) (так как KL = (1)/(2)A_1B_1 , KC = (1)/(2)A_1C_1 , LC = (1)/(2)B_1C_1 ) и соответствующие стороны параллельны. Пусть h — высота призмы, S = S_(A_1B_1C_1) . Тогда: 1. расстояние от P до плоскости A_1B_1C_1 равно H ; 2. расстояние от P до плоскости KLC равно (H)/(2) (из коэффициента подобия 1:2 ); 3. разность этих расстояний равна высоте призмы: H - (H)/(2) = (H)/(2) = h , откуда H = 2h . Объём усечённой пирамиды: V_(KLCA_1B_1C_1) = V_(P-A_1B_1C_1) - V_(P-KLC) = (1)/(3)* S* H - (1)/(3)* (S)/(4)* (H)/(2) = (SH)/(3)(1 - (1)/(8)) = (7SH)/(24). Подставляя H = 2h : V_(KLCA_1B_1C_1) = (7 S * 2h)/(24) = (7Sh)/(12) = (7V)/(12), где V = Sh — объём призмы. Объём оставшейся части: V_(KLBAA_1B_1) = V - (7V)/(12) = (5V)/(12). Искомое отношение: (V_(KLCA_1B_1C_1))/(V_(KLBAA_1B_1)) = (7V/12)/(5V/12) = (7)/(5) = 1,4. Ответ: 1,4 .

1,4