Задача №16800

$KL$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ параллельная $AB\text{.}$ Значит $K$ — середина $CA\text{,}$ $L$ — середина $CB\text{,}$ и $KL=\frac{1}{2}AB\text{.}$

Продолжим боковые рёбра многогранника $KLC{A}_1{B}_1{C}_1\text{,}$ то есть прямые $K{A}_1\text{,}$ $L{B}_1\text{,}$ $C{C}_1\text{.}$ Все они пересекаются в одной точке $P$ (это вершина пирамиды, продолжающей усечённую пирамиду $KLC-A_1{B}_1{C}_1$). Действительно, треугольники $KLC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ лежат в параллельных плоскостях $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1\text{,}$ подобны с коэффициентом $\frac{1}{2}$ (так как $KL=\frac{1}{2}{A}_1{B}_1\text{,}$ $KC=\frac{1}{2}{A}_1{C}_1\text{,}$ $LC=\frac{1}{2}{B}_1{C}_1$) и соответствующие стороны параллельны.

Пусть $h$ — высота призмы, $S=S_{A_1{B}_1{C}_1}\text{.}$ Тогда:

1. расстояние от $P$ до плоскости $A_1{B}_1{C}_1$ равно $H\text{;}$
2. расстояние от $P$ до плоскости $KLC$ равно $\frac{H}{2}$ (из коэффициента подобия $1:2$);
3. разность этих расстояний равна высоте призмы: $H-\frac{H}{2}=\frac{H}{2}=h\text{,}$ откуда $H=2h\text{.}$

Объём усечённой пирамиды:

$$V_{KLC{A}_1{B}_1{C}_1}=V_{P-A_1{B}_1{C}_1}-V_{P-KLC}=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H-\frac{1}{3}\cdot \frac{S}{4}\cdot \frac{H}{2}=\frac{SH}{3}\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{7SH}{24}.$$

Подставляя $H=2h\text{:}$

$$V_{KLC{A}_1{B}_1{C}_1}=\frac{7S\cdot 2h}{24}=\frac{7Sh}{12}=\frac{7V}{12},$$

где $V=Sh$ — объём призмы.

Объём оставшейся части:

$$V_{KLBA{A}_1{B}_1}=V-\frac{7V}{12}=\frac{5V}{12}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{V_{KLC{A}_1{B}_1{C}_1}}{V_{KLBA{A}_1{B}_1}}=\frac{7V/12}{5V/12}=\frac{7}{5}=1,4.$$

Ответ: $1,4\text{.}$