Задача №14622

Пусть основание призмы — треугольник $ABC\text{,}$ $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC\text{.}$ Тогда $MN$ — средняя линия, поэтому $MN\parallel BC$ и

$$AM=\frac{AB}{2},AN=\frac{AC}{2},MN=\frac{BC}{2}.$$

Плоскость, проходящая через $MN$ и параллельная боковому ребру, отсекает треугольную призму с основанием $AMN\text{.}$ Её боковая поверхность состоит из трёх параллелограммов, построенных на сторонах $AM\text{,}$ $AN\text{,}$ $MN$ и боковом ребре $\ell$ (общая длина бокового ребра одинакова у обеих призм).

Площадь параллелограмма со сторонами $x$ и $\ell \text{,}$ образующими угол $\phi \text{,}$ равна $x\ell \sin \phi \text{.}$ Для граней, соответствующих сторонам $AB$ и $AM\text{,}$ угол между боковым ребром и $AB$ равен углу между боковым ребром и $AM\text{,}$ так как $AM\parallel AB\text{.}$ Значит,

$$S_{AM}=AM\cdot \ell \sin {\phi }_{AB}=\frac{AB}{2}\cdot \ell \sin {\phi }_{AB}=\frac{1}{2}{S}_{AB}.$$

Аналогично $S_{AN}=\frac{1}{2}{S}_{AC}\text{.}$ Кроме того, $MN\parallel BC\text{,}$ поэтому

$$S_{MN}=MN\cdot \ell \sin {\phi }_{BC}=\frac{BC}{2}\cdot \ell \sin {\phi }_{BC}=\frac{1}{2}{S}_{BC}.$$

Складывая площади трёх боковых граней, получаем, что площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна половине площади боковой поверхности исходной:

$$S_{\text{мал}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{исх}}.$$

Так как $S_{\text{мал}}=36\text{,}$ то

$$S_{\text{исх}}=2\cdot 36=72.$$

Ответ: 72