Задача №14564 — Простейшая стереометрия (Математика (профиль) ЕГЭ)

Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен 84, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Пусть объём исходной призмы равен V=84. Тогда V=S_(ABC)* h. В основании ABC проведена средняя линия MN, соединяющая середины двух сторон. Тогда треугольник AMN подобен ABC с коэффициентом (1)/(2), поэтому (S_(AMN))/(S_(ABC))=((1)/(2))^2=(1)/(4). Плоскость, проходящая через MN и параллельная боковому ребру, отсекает треугольную призму с основанием AMN и той же высотой h. Поэтому V_(отс)=S_(AMN)* h=(1)/(4)S_(ABC)* h=(1)/(4)V=(1)/(4)* 84=21. Ответ: 21

\(21\)