Задача №16788

Змей Горыныч решил благоустроить свою пещеру. Поймав несколько леших в ближайшем лесу, он приказал им произвести ремонт, пообещав кормить по ходу выполнения работ. Один из леших оказался страшным обжорой. Работая наравне с каждым из остальных, он ел за пятерых. Когда половина ремонта была завершена, Змей Горыныч сообразил, что ему не хватит запаса еды до окончания работ. Запас закончится, когда неотремонтированной останется $\frac{1}{10}$ часть пещеры. Недолго думая, он съел обжору, а оставшуюся часть ремонта остальные лешие делали без него. В результате, когда ремонт был завершён, у Змея Горыныча осталась ещё $\frac{1}{21}$ часть общего запаса еды. Сколько леших поймал Змей Горыныч перед началом ремонта?

Пусть всего было $x$ леших, общий объём работы примем за $1\text{,}$ общий запас еды — также за $1\text{.}$

1. Первую половину работы выполняли все $x$ леших за $k$ дней; вторую половину — $(x-1)$ леший за $m$ дней. Производительность одного лешего одинакова в обоих периодах:

то есть

2. По условию запаса еды хватило бы только на $\frac{9}{10}$ всей работы. Из пропорции «$1$ ед. еды — на $\frac{9}{10}$ работы; $y$ ед. — на $\frac{1}{2}$ работы»:

всей еды было съедено за первую половину.

3. В первой половине работают $x$ леших, но один из них ест за пятерых, то есть «эффективное» число едоков равно $x-1+5=x+4\text{.}$ Норма потребления еды на одного эффективного едока в день в первой половине: $\frac{5/9}{(x+4)\cdot k}\text{.}$

4. Во второй половине осталось $(x-1)$ леший на $m$ дней, а еды осталось

Норма на одного в день: $\frac{25/63}{(x-1)\cdot m}\text{.}$

5. Нормы потребления равны:

Разделив (2) на (1) и сократив, получаем $\frac{x+4}{x}=\frac{7}{5}\text{,}$ откуда

Ответ: $10\text{.}$