Задача №17303

Первая труба наполняет пустой резервуар на 4 часа быстрее, чем вторая. Сначала открыли только первую трубу на время, равное одной трети времени, которое требуется второй трубе, чтобы наполнить резервуар в одиночку. Затем первую трубу закрыли и открыли вторую на время, равное одной трети времени, которое требуется первой трубе, чтобы наполнить резервуар в одиночку.

В результате резервуар был заполнен на $\frac{13}{18}$ своего объёма. За сколько часов одна первая труба может наполнить пустой резервуар?

Пусть первая труба наполняет резервуар за $t$ часов, тогда вторая — за $t+4$ часов. Производительности: $\frac{1}{t}$ и $\frac{1}{t+4}$ объёма в час.

Первая труба работала $\frac{t+4}{3}$ часов и наполнила

$$\frac{1}{t}\cdot \frac{t+4}{3}=\frac{t+4}{3t}$$

объёма. Вторая труба работала $\frac{t}{3}$ часов и наполнила

$$\frac{1}{t+4}\cdot \frac{t}{3}=\frac{t}{3(t+4)}$$

объёма.

Составим уравнение:

$$\frac{t+4}{3t}+\frac{t}{3(t+4)}=\frac{13}{18}.$$

Умножим обе части на $18t(t+4)\text{:}$

$$6(t+4{)}^2+6t^2=13t(t+4).$$

Раскроем скобки:

$$6t^2+48t+96+6t^2=13t^2+52t,$$

откуда

$$t^2+4t-96=0.$$

Найдём корни:

$$t=\frac{-4\pm \sqrt{16+384}}{2}=\frac{-4\pm 20}{2},$$

то есть $t=8$ или $t=-12$ (не подходит).

Ответ: 8 часов.