Задача №16729

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$|x^2-6x+8|-a+|x^2-6x+5|=0$$

имеет более трёх корней.

Перепишем уравнение в виде

$$|x^2-6x+8|+|x^2-6x+5|=a.$$

Сделаем замену $t=x^2-6x=(x-3{)}^2-9\text{.}$ Заметим, что $t⩾-9\text{.}$ При этом:
1. Если $t>-9\text{,}$ уравнение $x^2-6x=t$ имеет 2 корня.
2. Если $t=-9\text{,}$ уравнение имеет 1 корень ($x=3$).

Рассмотрим функцию $f(t)=|t+8|+|t+5|$ при $t⩾-9\text{:}$
1. Если $t<-8\text{,}$ то $f(t)=-(t+8)-(t+5)=-2t-13\text{.}$ Функция убывает, $f(-9)=5\text{,}$ $f(-8)=3\text{.}$
2. Если $-8⩽t⩽-5\text{,}$ то $f(t)=(t+8)-(t+5)=3\text{.}$ Функция постоянна.
3. Если $t>-5\text{,}$ то $f(t)=(t+8)+(t+5)=2t+13\text{.}$ Функция возрастает, $f(-5)=3\text{,}$ $f(t)\to +\infty \text{.}$

Проанализируем количество корней уравнения $f(t)=a$ с учётом условия $t⩾-9$ и количества соответствующих корней $x\text{:}$

• При $a<3\text{:}$ решений нет (0 корней).
• При $a=3\text{:}$ $t\in [-8;-5]\text{.}$ Поскольку все $t>-9\text{,}$ каждое значение $t$ даёт 2 корня $x\text{.}$ Следовательно, корней бесконечно много (условие «более трёх» выполнено).
• При $3<a<5\text{:}$ уравнение имеет два корня $t_1\in (-9;-8)$ и $t_2\in (-5;+\infty )\text{.}$ Оба значения $t>-9\text{,}$ поэтому каждое даёт по 2 корня $x\text{.}$ Всего 4 корня (условие выполнено).
• При $a=5\text{:}$ уравнение имеет два корня $t_1=-9$ (даёт 1 корень $x=3$) и $t_2=-4$ (даёт 2 корня $x$). Всего 3 корня.
• При $a>5\text{:}$ уравнение имеет только один корень $t>-4$ (из возрастающей ветви), что даёт 2 корня $x\text{.}$

Таким образом, уравнение имеет более трёх корней при $a\in [3;5)\text{.}$

Ответ: $a\in [3;5)\text{.}$