Найдите все значения параметра a , при которых уравнение |x^2 - 6x + 8| - a + |x^2 - 6x + 5| = 0 имеет более трёх корней.

Перепишем уравнение в виде |x^2 - 6x + 8| + |x^2 - 6x + 5| = a. Сделаем замену t = x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 . Заметим, что t -9 . При этом: 1. Если t > -9 , уравнение x^2 - 6x = t имеет 2 корня. 2. Если t = -9 , уравнение имеет 1 корень ( x = 3 ). Рассмотрим функцию f(t) = |t + 8| + |t + 5| при t -9 : 1. Если t < -8 , то f(t) = -(t + 8) - (t + 5) = -2t - 13 . Функция убывает, f(-9) = 5 , f(-8) = 3 . 2. Если -8 t -5 , то f(t) = (t + 8) - (t + 5) = 3 . Функция постоянна. 3. Если t > -5 , то f(t) = (t + 8) + (t + 5) = 2t + 13 . Функция возрастает, f(-5) = 3 , f(t) +inf . Проанализируем количество корней уравнения f(t) = a с учётом условия t -9 и количества соответствующих корней x : - При a < 3 : решений нет (0 корней). - При a = 3 : t in [-8; -5] . Поскольку все t > -9 , каждое значение t даёт 2 корня x . Следовательно, корней бесконечно много (условие «более трёх» выполнено). - При 3 < a < 5 : уравнение имеет два корня t_1 in (-9; -8) и t_2 in (-5; +inf) . Оба значения t > -9 , поэтому каждое даёт по 2 корня x . Всего 4 корня (условие выполнено). - При a = 5 : уравнение имеет два корня t_1 = -9 (даёт 1 корень x = 3 ) и t_2 = -4 (даёт 2 корня x ). Всего 3 корня. - При a > 5 : уравнение имеет только один корень t > -4 (из возрастающей ветви), что даёт 2 корня x . Таким образом, уравнение имеет более трёх корней при a in [3; 5) . Ответ: a in [3; 5) .

[3; 5)