Задача №15399

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(|x-a^2|+|x+1|{)}^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0$$

имеет ровно два различных корня.

Введём замену $t=|x-a^2|+|x+1|\text{.}$ Уравнение принимает вид:

$$t^2-7t+4a^2+4=0.$$

Дискриминант: $D=33-16a^2\text{.}$ Корни: $t_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{33-16a^2}}{2}$ (при условии $a^2⩽\frac{33}{16}$).

Известно, что $t=|x-a^2|+|x+1|\ge |a^2-(-1)|=a^2+1\text{,}$ причём равенство достигается на отрезке между точками $-1$ и $a^2\text{,}$ а при $t>a^2+1$ уравнение $t=|x-a^2|+|x+1|$ имеет ровно два решения.

Исходное уравнение будет иметь ровно два корня $x$ в двух случаях:

1. Квадратное уравнение имеет один корень $t$ (дискриминант нулевой) и $t>a^2+1\text{.}$
2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, причём $a^2+1$ лежит строго между ними (тогда меньший корень не даёт решений $x\text{,}$ а больший даёт два решения).

Случай 1: $D=0\text{:}$

$$33-16a^2=0\Rightarrow a=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}.$$

При этом $t=\frac{7}{2}=3.5\text{.}$ Условие $3.5>a^2+1$ выполняется, так как $a^2+1=\frac{33}{16}+1=\frac{49}{16}=3.0625\text{.}$

Случай 2: $D>0$ и $t_1<a^2+1<t_2\text{.}$ Это равносильно условию $f(a^2+1)<0\text{,}$ где $f(t)=t^2-7t+4a^2+4\text{.}$ Вычисляем:

$$f(a^2+1)=(a^2+1{)}^2-7(a^2+1)+4a^2+4=a^4-a^2-2.$$

Неравенство $a^4-a^2-2<0$ при $a^2\ge 0$ даёт $a^2<2\text{,}$ т.е. $|a|<\sqrt{2}\text{.}$ При этом также требуется, чтобы $a^2+1$ не совпадало с корнями, что исключает $a^2=2$ (уже не входит).

Таким образом, при $|a|<\sqrt{2}$ условие выполнено.

Объединяя случаи, получаем ответ.

Ответ: $|a|<\sqrt{2}$ или $a=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}\text{.}$