Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (|x-a^2| + |x+1|)^2 - 7(|x-a^2| + |x+1|) + 4a^2 + 4 = 0 имеет ровно два различных корня.

Введём замену t = |x-a^2| + |x+1|. Уравнение принимает вид: t^2 - 7t + 4a^2 + 4 = 0. Дискриминант: D = 33 - 16a^2. Корни: t_(1,2) = (7+-sqrt(33-16a^2))/(2) (при условии a^2 (33)/(16)). Известно, что t = |x-a^2|+|x+1| >= |a^2 - (-1)| = a^2+1, причём равенство достигается на отрезке между точками -1 и a^2, а при t > a^2+1 уравнение t = |x-a^2|+|x+1| имеет ровно два решения. Исходное уравнение будет иметь ровно два корня x в двух случаях: 1. Квадратное уравнение имеет один корень t (дискриминант нулевой) и t > a^2+1. 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, причём a^2+1 лежит строго между ними (тогда меньший корень не даёт решений x, а больший даёт два решения). **Случай 1:** D=0: 33-16a^2=0=> a = +-(sqrt(33))/(4). При этом t = (7)/(2) = 3.5. Условие 3.5 > a^2+1 выполняется, так как a^2+1 = (33)/(16)+1 = (49)/(16)=3.0625. **Случай 2:** D>0 и t_1 < a^2+1 < t_2. Это равносильно условию f(a^2+1) < 0, где f(t)=t^2-7t+4a^2+4. Вычисляем: f(a^2+1) = (a^2+1)^2 - 7(a^2+1) + 4a^2+4 = a^4 - a^2 - 2. Неравенство a^4 - a^2 - 2 < 0 при a^2>= 0 даёт a^2 < 2, т.е. |a| < sqrt(2). При этом также требуется, чтобы a^2+1 не совпадало с корнями, что исключает a^2=2 (уже не входит). Таким образом, при |a| < sqrt(2) условие выполнено. Объединяя случаи, получаем ответ. Ответ: |a| < sqrt(2) или a = +-(sqrt(33))/(4).

\(a\in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup\left\{ -\dfrac{\sqrt{33}}{4}, \dfrac{\sqrt{33}}{4}\right\}\)