Найдите все значения параметра a, такие, что каждый корень уравнения
2x4−34a3=7a2+6a−162sin∣x∣является корнем данного уравнения только при одном значении параметра.
Запишем уравнение в виде
2x4+162sin∣x∣=34a3+7a2+6a.(*)Пусть f(x)=2x4+162sin∣x∣, g(a)=34a3+7a2+6a.
1) Множество значений f. Функция f непрерывная, чётная, D(f)=R.
Так как f непрерывна, f(0)=0 и f(x)→+∞ при ∣x∣→∞, получаем E(f)=[0;+∞).
2) Анализ g.
g′(a)=4a2+14a+6=4(a+3)(a+21).Локальный максимум:
g(−3)=−36+63−18=9.Локальный минимум:
g(−21)=−61+47−3=−1217.3) Условие задачи. Уравнение (∗) имеет хотя бы один корень x при тех a, для которых g(a)∈E(f)=[0;+∞), то есть g(a)⩾0.
Каждое значение y∈[0;9] функция g принимает более одного раза (минимум дважды — следует из поведения возрастание-убывание-возрастание с максимумом 9). Каждое значение y>9 функция g принимает ровно один раз — только на луче возрастания справа от −21.
По условию каждый корень x должен соответствовать единственному значению a, поэтому требуется g(a)>9:
34a3+7a2+6a>9⇔4a3+21a2+18a−27>0.Замечаем, что a=−3 — корень кубического многочлена. Делим:
4a3+21a2+18a−27=(a+3)(4a2+9a−9)=4(a+3)2(a−43).Неравенство 4(a+3)2(a−43)>0 выполнено при a>43 (квадрат (a+3)2⩾0 обращается в ноль при a=−3 и не даёт строгого неравенства).
Ответ: a∈(43;+∞).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин