Найдите все значения параметра a , такие, что каждый корень уравнения 2x^4 - (4)/(3)a^3 = 7a^2 + 6a - 162sin|x| является корнем данного уравнения только при одном значении параметра.

Запишем уравнение в виде 2x^4 + 162sin|x| = (4)/(3)a^3 + 7a^2 + 6a. * Пусть f(x) = 2x^4 + 162sin|x| , g(a) = (4)/(3)a^3 + 7a^2 + 6a . 1) Множество значений f . Функция f непрерывная, чётная, D(f) = R . - При |x| 3 < pi : sin|x| 0 и 2x^4 0 , поэтому f(x) 0 (причём f(0) = 0 ). - При |x| > 3 : 2x^4 > 2* 81 = 162 , а 162sin|x| -162 , поэтому f(x) > 0 . Так как f непрерывна, f(0) = 0 и f(x) +inf при |x| , получаем E(f) = [0;+inf) . 2) Анализ g . g'(a) = 4a^2 + 14a + 6 = 4(a + 3)(a + (1)/(2)). - На (-inf;-3] и на [-(1)/(2);+inf) функция g возрастает. - На [-3;-(1)/(2)] функция g убывает. Локальный максимум: g(-3) = -36 + 63 - 18 = 9. Локальный минимум: g(-(1)/(2)) = -(1)/(6) + (7)/(4) - 3 = -(17)/(12). 3) Условие задачи. Уравнение (*) имеет хотя бы один корень x при тех a , для которых g(a)in E(f) = [0;+inf) , то есть g(a) 0 . Каждое значение yin[0;9] функция g принимает более одного раза (минимум дважды — следует из поведения возрастание-убывание-возрастание с максимумом 9 ). Каждое значение y > 9 функция g принимает ровно один раз — только на луче возрастания справа от -(1)/(2) . По условию каждый корень x должен соответствовать единственному значению a , поэтому требуется g(a) > 9 : (4)/(3)a^3 + 7a^2 + 6a > 9 <=>4a^3 + 21a^2 + 18a - 27 > 0. Замечаем, что a = -3 — корень кубического многочлена. Делим: 4a^3 + 21a^2 + 18a - 27 = (a + 3)(4a^2 + 9a - 9) = 4(a + 3)^2(a - (3)/(4)). Неравенство 4(a + 3)^2(a - (3)/(4)) > 0 выполнено при a > (3)/(4) (квадрат (a + 3)^2 0 обращается в ноль при a = -3 и не даёт строгого неравенства). Ответ: a in ((3)/(4);+inf) .

$a \in \left(\dfrac{3}{4};\,+\infty\right)$