Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (4x - 3|x + a^2| + |x - 1| + 3a^2)^2 - (a + 1)(4x - 3|x + a^2| + |x - 1| + 3a^2) + 4 = 0 имеет ровно два различных корня.

Обозначим t=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2. Тогда исходное уравнение равносильно t^2-(a+1)t+4=0. Исследуем функцию t(x). Точки смены знаков под модулями: x=-a^2 и x=1 (так как -a^2 0 < 1). 1) Если x -a^2, то |x+a^2|=-(x+a^2), |x-1|=1-x, поэтому t=4x-3(-x-a^2)+(1-x)+3a^2=6x+6a^2+1. 2) Если -a^2 x 1, то |x+a^2|=x+a^2, |x-1|=1-x, поэтому t=4x-3(x+a^2)+(1-x)+3a^2=1. 3) Если x 1, то |x+a^2|=x+a^2, |x-1|=x-1, поэтому t=4x-3(x+a^2)+(x-1)+3a^2=2x-1. Следовательно, t(x)=1 на всём отрезке [-a^2;1], а при t!= 1 каждому значению t соответствует ровно одно значение x: - при t<1 решение единственно и лежит на ветви x -a^2; - при t>1 решение единственно и лежит на ветви x 1. Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение по t: - имело два различных корня t_1!= t_2 (тогда дадут два различных x); - ни один из корней не равнялся 1 (иначе решений по x бесконечно много из-за отрезка t(x)=1). Дискриминант D=(a+1)^2-16=(a+5)(a-3). Условие двух различных корней: D>0, то есть ain(-inf;-5)U(3;+inf). Исключим случай t=1 — корень квадратного уравнения: 1-(a+1)* 1+4=0 4-a=0 a=4. При a=-5 и a=3 имеем D=0 и единственный корень t!= 1, значит получается ровно один корень x. Итак, ain(-inf;-5)U(3;+inf)4.

\(a\in(-\infty,-5)\cup(3,+\infty)\setminus\{4\}.\)