Задача №15404

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2{)}^2-(a+1)(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)+4=0$$

имеет ровно два различных корня.

Обозначим

$$t=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2.$$

Тогда исходное уравнение равносильно

$$t^2-(a+1)t+4=0.$$

Исследуем функцию $t(x)\text{.}$ Точки смены знаков под модулями: $x=-a^2$ и $x=1$ (так как $-a^2⩽0<1$).

1) Если $x⩽-a^2\text{,}$ то $|x+a^2|=-(x+a^2)\text{,}$ $|x-1|=1-x\text{,}$ поэтому

$$t=4x-3(-x-a^2)+(1-x)+3a^2=6x+6a^2+1.$$

2) Если $-a^2⩽x⩽1\text{,}$ то $|x+a^2|=x+a^2\text{,}$ $|x-1|=1-x\text{,}$ поэтому

$$t=4x-3(x+a^2)+(1-x)+3a^2=1.$$

3) Если $x⩾1\text{,}$ то $|x+a^2|=x+a^2\text{,}$ $|x-1|=x-1\text{,}$ поэтому

$$t=4x-3(x+a^2)+(x-1)+3a^2=2x-1.$$

Следовательно, $t(x)=1$ на всём отрезке $[-a^2;1]\text{,}$ а при $t\ne 1$ каждому значению $t$ соответствует ровно одно значение $x\text{:}$

• при $t<1$ решение единственно и лежит на ветви $x⩽-a^2\text{;}$
• при $t>1$ решение единственно и лежит на ветви $x⩾1\text{.}$

Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня $x\text{,}$ необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение по $t\text{:}$

• имело два различных корня $t_1\ne t_2$ (тогда дадут два различных $x$);
• ни один из корней не равнялся $1$ (иначе решений по $x$ бесконечно много из-за отрезка $t(x)=1$).

Дискриминант

$$D=(a+1{)}^2-16=(a+5)(a-3).$$

Условие двух различных корней: $D>0\text{,}$ то есть

$$a\in (-\infty ;-5)\cup (3;+\infty ).$$

Исключим случай $t=1$ — корень квадратного уравнения:

$$1-(a+1)\cdot 1+4=0⟺4-a=0⟺a=4.$$

При $a=-5$ и $a=3$ имеем $D=0$ и единственный корень $t\ne 1\text{,}$ значит получается ровно один корень $x\text{.}$

Итак,

$$a\in (-\infty ;-5)\cup (3;+\infty )\setminus \{4\}.$$