Задача №16716

Четырёхзначное натуральное число разделили на сумму его цифр. Известно, что в результате получилось натуральное число, которое не кратно 100.

а) Могло ли получиться число 820?
б) Могло ли получиться число 821?
в) Какое наибольшее число могло получиться?

Обозначим $N$ — четырёхзначное число ($1000⩽N⩽9999$), $S=S(N)$ — сумма его цифр, $m=N/S$ — натуральное число, $m\not\equiv 0(\mathrm{mod}100)\text{.}$

а) Найдём $N\text{,}$ при котором $N/S(N)=820\text{.}$ Перебираем $S=k\text{,}$ тогда $N=820k\text{.}$
Пусть $k=5\text{,}$ тогда $N=820\cdot 5=4100\text{.}$
Сумма цифр $S(4100)=4+1+0+0=5\text{.}$
Проверка кратности: $m=820\text{,}$ оно не кратно 100. Условие выполняется.

б) Пусть $N/S(N)=821\text{.}$ Тогда $N=821\cdot S\text{.}$
Если $S⩾13\text{,}$ то $N⩾821\cdot 13=10673>9999\text{,}$ что невозможно для четырёхзначного числа.
Проверим значения $S$ от 1 до 12:

Ни в одной из строк сумма цифр числа $N$ не совпадает с выбранным значением $S\text{.}$ Значит, число 821 получиться не могло.

в) Максимизируем $m=N/S$ при условиях: $N$ — четырёхзначное, $S$ делит $N\text{,}$ $m$ не кратно 100.
Если $S=1\text{,}$ то $N$ должно быть степенью 10. Единственное четырёхзначное число — 1000. Тогда $m=1000/1=1000\text{,}$ что кратно 100 (не подходит).

При $S\in \{2;3;\dots ;9\}$ наибольшее число с такой суммой цифр — это $N=S\cdot 1000$ (числа 2000, 3000, ..., 9000). В этих случаях $m=1000\text{,}$ что кратно 100. Без учёта этих случаев максимальное $m$ будет значительно меньше 900.

Рассмотрим $S=10\text{.}$ Наибольшее число $N$ с суммой цифр 10, кратное 10, но не кратное 1000, — это $N=9100\text{.}$

$$m=\frac{9100}{10}=910.$$

Число 910 не кратно 100.
При $S⩾11$ значение $m=N/S⩽9999/11=909<910\text{.}$

Следовательно, наибольшее возможное число — 910.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 910