На доске записано некоторое натуральное число N. Учитель по очереди вызывает к ученикам, которые выполняют с последним из записанных на доске чисел одно из следующих действий: - умножают число на 4; - прибавляют к числу 12; - если число не равно 9, то вычеркивают из числа цифру 9. Затем ученик дописывает новое число на доску. а) Можно ли за несколько действий получить из числа 47 число 2? б) Можно ли за несколько действий получить из числа 7 число 77?

а) Да, из числа 47 можно получить число 2 следующим образом: 47 59 5 17 29 2. б) Заметим, что каждая из операций сохраняет остаток исходного числа при делении на 3. Умножение на 4 не меняет остаток, так как 4 сравнимо с 1 по модулю 3. Прибавление 12 не меняет остаток, так как 12 делится на 3, его остаток равен 0. Вычеркивание 9 не меняет остаток по признаку равноостаточности при делении на 3, так как при такой операции сумма цифр сохраняет остаток при делении на 3, ведь 9 делится на 3. Таким образом, у всех новых чисел должен быть один и тот же остаток при делении на 3. Но 7 имеет остаток 1 при делении на 3, а 77 — остаток 2. Противоречие.

а) Да; б) Нет