На столе лежит N монет по 2 рубля и 800-N монет по 5 рублей, где N может принимать значения от 1 до 799. Известно, что если взять любые 300 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет. а) Может ли N равняться 200? б) Может ли N равняться 400? в) Сколько различных значений может принимать N?

Общая сумма всех монет равна 2N+5(800-N)=4000-3N. Условие должно выполняться для наименьшей возможной суммы 300 монет, то есть когда взято максимально много двухрублёвых монет. а) При N=200 минимальная сумма 300 монет: 200*2+100*5=900, а четверть общей суммы (4000-600)/(4)=850. Так как 900850, а замена любой двойки на пятёрку только увеличивает сумму, условие выполнено. Значит, N=200 возможно. б) При N=400 возьмём 300 двухрублёвых монет: их сумма 600, а четверть общей суммы (4000-1200)/(4)=700. Так как 600<700, условие нарушается. Значит, N=400 невозможно. в) Если 1 N300, наименьшая сумма 300 монет равна 2N+5(300-N)=1500-3N, и условие 1500-3N(4000-3N)/(4) даёт 9N2000, то есть N222 (222 значения). Если 300<N799, наименьшая сумма 300 монет равна 300*2=600, и условие 600(4000-3N)/(4) даёт 3N1600, то есть N534 (266 значений). Всего 222+266=488 значений. Ответ: а) Да; б) Нет; в) 488.

а) Да; б) Нет; в) 488