Задача №17439

На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $800-N$ монет по 5 рублей, где $N$ может принимать значения от 1 до 799. Известно, что если взять любые 300 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться 200?
б) Может ли $N$ равняться 400?
в) Сколько различных значений может принимать $N\text{?}$

Общая сумма всех монет равна $2N+5(800-N)=4000-3N\text{.}$ Условие должно выполняться для наименьшей возможной суммы 300 монет, то есть когда взято максимально много двухрублёвых монет.

а) При $N=200$ минимальная сумма 300 монет: $200\cdot 2+100\cdot 5=900\text{,}$ а четверть общей суммы $\frac{4000-600}{4}=850\text{.}$ Так как $900⩾850\text{,}$ а замена любой двойки на пятёрку только увеличивает сумму, условие выполнено. Значит, $N=200$ возможно.

б) При $N=400$ возьмём 300 двухрублёвых монет: их сумма $600\text{,}$ а четверть общей суммы $\frac{4000-1200}{4}=700\text{.}$ Так как $600<700\text{,}$ условие нарушается. Значит, $N=400$ невозможно.

в) Если $1⩽N⩽300\text{,}$ наименьшая сумма 300 монет равна $2N+5(300-N)=1500-3N\text{,}$ и условие $1500-3N⩾\frac{4000-3N}{4}$ даёт $9N⩽2000\text{,}$ то есть $N⩽222$ (222 значения).

Если $300<N⩽799\text{,}$ наименьшая сумма 300 монет равна $300\cdot 2=600\text{,}$ и условие $600⩾\frac{4000-3N}{4}$ даёт $3N⩾1600\text{,}$ то есть $N⩾534$ (266 значений).

Всего $222+266=488$ значений.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 488.