Задача №15488

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

а) Пусть исходное трёхзначное число равно $100A+10B+C\text{.}$ После операции получаем число $100A+20B+C+3\text{.}$

Уравнение $100A+20B+C+3=224$ приводится к $100A+20B+C=221\text{.}$

При $A=2$ получаем $20B+C=21\text{,}$ откуда $B=1\text{,}$ $C=1\text{.}$

Исходное число 211, проверка: $211+10\cdot 1+3=224\text{.}$

Значит, могло.

б) Уравнение $100A+20B+C+3=314$ даёт $100A+20B+C=311\text{.}$

При $A=3\text{:}$ $20B+C=11\text{,}$ но $C$ должно быть цифрой, максимальное $20B+C$ при $B=0$ равно 9, при других $B$ больше, но 11 не достигается.

При $A=2\text{:}$ $20B+C=111\text{,}$ максимум $20\cdot 9+9=189\text{,}$ но 111 меньше 189, однако для $B=5\text{:}$ $20\cdot 5=100\text{,}$ $C=11$ — не цифра.

Другие $A$ также не дают решения.

Значит, не могло.

в) Отношение получившегося числа к исходному:

$$R=\frac{100A+20B+C+3}{100A+10B+C}.$$

При фиксированных $A$ и $B$ отношение убывает с ростом $C\text{,}$ поэтому максимум при $C=0\text{.}$

Затем при фиксированном $A$ отношение возрастает с ростом $B\text{.}$

При фиксированном $B$ отношение убывает с ростом $A\text{.}$

Поэтому максимум достигается при наименьшем $A=1\text{,}$ наибольшем $B=9$ и наименьшем $C=0\text{.}$

Тогда исходное число 190, получившееся число $190+90+3=283\text{,}$ отношение $283/190\text{.}$

Ответ:

а) Да, могло (например, число 211).

б) Нет, не могло.

в) $\frac{283}{190}\text{.}$