Задача №16590

15 января планируется взять кредит в банке на 3 года. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 24-й месяц кредитования нужно выплатить 45,2 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Кредит оформлен на $3\cdot 12=36$ месяцев. Из условия следует, что долг по 15-м числам образует убывающую арифметическую прогрессию: пусть сумма кредита $S=36K$ тыс. руб., тогда после $i$-го платежа ($i=0,1,\dots ,36$) долг равен $(36-i)K$ тыс. руб. Тем самым ежемесячное уменьшение долга составляет $K$ тыс. руб.

Переплата (1% от долга) в $i$-й платёжный месяц равна

$$p_i=0,01\cdot (37-i)K=(0,37-0,01i)K.$$

Это также убывающая арифметическая прогрессия с первым членом $p_1=0,36K\text{,}$ последним $p_{36}=0,01K$ и разностью $-0,01K\text{.}$

Платёж в $i$-й месяц равен сумме «части долга» $K$ и переплаты $p_i\text{.}$ По условию платёж в 24-й месяц равен $45,2$ тыс. руб.:

$$K+p_{24}=K+(0,36K-23\cdot 0,01K)=K+0,13K=1,13K=45,2,$$

откуда

$$K=\frac{45,2}{1,13}=40\text{(тыс. руб.)}.$$

Сумма кредита: $S=36\cdot 40=1440$ тыс. руб.

Сумма всех 36 переплат — сумма арифметической прогрессии:

$$P=\frac{p_1+p_{36}}{2}\cdot 36=\frac{0,36\cdot 40+0,01\cdot 40}{2}\cdot 36=\frac{14,4+0,4}{2}\cdot 36=14,8\cdot 18=266,4\text{тыс. руб.}$$

Общая сумма выплат банку:

$$S+P=1440+266,4=1706,4\text{тыс. руб.}=1706400\text{руб.}$$

Ответ: $1706400$ рублей.