Задача №15426

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Пусть первоначальный долг $S$ тыс. рублей.

В первые 5 лет долг ежегодно уменьшается на $d_1\text{,}$ в июле 2030 долг составляет 500 тыс. рублей:

$$S-5d_1=500\Rightarrow d_1=\frac{S-500}{5}.$$

Во вторые 5 лет долг уменьшается на $d_2$ ежегодно, с 500 до 0: $d_2=100$ тыс. рублей.

Сумма всех платежей равна сумме всех уменьшений долга плюс сумма всех процентов.

Сумма уменьшений: $5d_1+5d_2=(S-500)+500=S\text{.}$

Проценты начисляются каждый январь на долг предыдущего июля. Долги на июль:

2025: $S\text{,}$

2026: $S-d_1\text{,}$

2027: $S-2d_1\text{,}$

2028: $S-3d_1\text{,}$

2029: $S-4d_1\text{,}$

2030: 500,

2031: 400,

2032: 300,

2033: 200,

2034: 100.

Сумма процентов:

$$0,3\left[S+(S-d_1)+(S-2d_1)+(S-3d_1)+(S-4d_1)+500+400+300+200+100\right]$$ $$=0,3\left[5S-10d_1+1500\right].$$

Подставляем $d_1=\frac{S-500}{5}\text{,}$ тогда $10d_1=2(S-500)=2S-1000\text{:}$

$$5S-(2S-1000)+1500=3S+2500.$$

Сумма процентов: $0,3(3S+2500)=0,9S+750\text{.}$

Общая сумма платежей:

$$S+0,9S+750=1,9S+750=2080.$$ $$1,9S=1330\Rightarrow S=700.$$

Платёж в 2026 году: $X_{2026}=0,3S+d_1=0,3\cdot 700+\frac{700-500}{5}=210+40=250$ тыс. рублей = 250000 рублей.

Ответ: 250000 рублей.