Задача №16446

Автобусы совершают регулярные рейсы по трём маршрутам с одного автовокзала с интервалами 30, 36 и 45 минут. Сколько раз с 7.40 до 17.35 одного дня на автовокзале встречаются автобусы всех трёх маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 11.15?

Шаг 1. Период совместной встречи. Все три маршрута встречаются на автовокзале раз в $\mathrm{НОК}(30,36,45)$ минут.

• $30=2\cdot 3\cdot 5\text{;}$
• $36=2^2\cdot 3^2\text{;}$
• $45=3^2\cdot 5\text{.}$

Шаг 2. Встречи. Одна из встреч происходит в $11:15\text{.}$ Значит, все встречи имеют вид $11:15\pm 3k$ ч, $k\in \mathbb{Z}\text{:}$

Шаг 3. Отбор в интервале $[7:40;17:35]\text{.}$

• $5:15$ — не подходит (раньше $7:40$);
• $8:15$ — да;
• $11:15$ — да;
• $14:15$ — да;
• $17:15$ — да ($<17:35$);
• $20:15$ — не подходит.

Итого встреч: $4\text{.}$

Ответ: 4