Задача №16008

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 150 000 рублей, а во второй год — 180 000 рублей.

Пусть сумма кредита составляет $S=250$ тыс. рублей. По стандартным условиям кредитования каждый год банк начисляет $r\%$ на остаток долга, то есть сумма долга умножается на коэффициент $k=1+\frac{r}{100}\text{.}$

После начисления процентов клиент вносит выплату: в первый год $X_1=150$ тыс. рублей, во второй год $X_2=180$ тыс. рублей.

Составим таблицу погашения кредита:

Так как кредит был полностью погашен за два года, остаток долга после второй выплаты равен нулю. Составим уравнение:

$$(250k-150)k-180=0$$

Раскроем скобки:

$$250k^2-150k-180=0$$

Разделим обе части на $10\text{:}$

$$25k^2-15k-18=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-15{)}^2-4\cdot 25\cdot (-18)=225+1800=2025=45^2$$

Корни уравнения:

$$k_1=\frac{15+45}{2\cdot 25}=\frac{60}{50}=1,2$$ $$k_2=\frac{15-45}{50}=-0,6$$

По смыслу задачи коэффициент $k>0\text{,}$ поэтому нам подходит только $k=1,2\text{.}$

Найдём процентную ставку $r\text{:}$

$$1+\frac{r}{100}=1,2$$ $$\frac{r}{100}=0,2\Rightarrow r=20$$