На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11? в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.

Из условия следует, что сумма любых трёх чисел делится на 3, любых четырёх — на 4, любых пяти — на 5, любых шести — на 6. Тогда все числа дают одинаковые остатки по модулю 3, 4 и 5, значит, по модулю 60. Пусть все числа равны 60A_i + r, где r фиксировано. Одно число равно 30021, при делении на 60 даёт остаток 21, поэтому r = 21. Все числа имеют вид 60A_i + 21, где A_i — различные неотрицательные целые. а) Число 351 при делении на 60 даёт остаток 51, а должен быть 21. Не может. б) Пусть есть два числа a = 60A + 21, b = 60B + 21 и a / b = 11. Тогда 60A + 21 = 11(60B + 21) = 660B + 231, откуда 60A = 660B + 210. Делим на 30: 2A = 22B + 7, A = 11B + 3.5, что не является целым числом. Не может. в) Пусть a = 60A + 21, b = 60B + 21, a / b = n — целое. Тогда 60A + 21 = n(60B + 21), 60(A - nB) = 21(n - 1), 20(A - nB) = 7(n - 1). Значит, n - 1 кратно 20. Минимальное натуральное n такое, что n - 1 делится на 20, это n = 21. Пример: b = 21 (при B = 0), a = 60* 7 + 21 = 441 (при A = 7), тогда 441 / 21 = 21. Возможно. Ответ: а) Не может. б) Не может. в) 21.

а) нет б) нет в) 21