На прилавке лежит 95 товаров разной цены, цена каждого выражается целым числом рублей. Средняя цена товаров, которые дешевле 2000 рублей, равна 1960 рублей, а средняя цена товаров, которые дороже 2000 рублей, равна 2050 рублей. Средняя цена всех 95 товаров равна 2000 рублей. а) Может ли товаров ценой 2000 рублей быть ровно 50? б) Может ли товаров ценой более 2000 рублей быть в два раза меньше, чем товаров ценой менее 2000 рублей? в) Какую наибольшую цену (в рублях) может иметь товар на прилавке?

Упорядочим цены товаров по возрастанию: 0 < a_1 a_2 a_(95) , и разобьём последовательность на три группы: a_1, a_2, , a_k_(k шт.), a_(k+1), a_(k+2), , a_n_(n - k шт.), a_(n+1), a_(n+2), , a_(95)_(95 - n шт.), где a_k < 2000 , a_(k+1) = a_(k+2) = = a_n = 2000 , a_(n+1) > 2000 . Зная средние цены товаров в каждой группе, составим основное уравнение: 1960 k + 2000 (n - k) + 2050 (95 - n) = 95 * 2000 <=> 4 k + 5 n = 475. * а) Может ли товаров ценой 2000 быть ровно 50 , т. е. n - k = 50 ? Из системы cases 4 k + 5 n = 475, n - k = 50 cases получаем k = 25 , n = 75 . Пример: 25 товаров по 1960 , 50 товаров по 2000 , 20 товаров по 2050 . Все условия задачи выполнены. Ответ: Да. б) Может ли товаров ценой более 2000 быть в два раза меньше, чем товаров ценой менее 2000 , т. е. 95 - n = 2 k ? Из системы cases 4 k + 5 n = 475, 95 - n = 2 k cases получаем k = 0 , n = 95 , то есть товаров и дешевле, и дороже 2000 нет. Но условие задачи требует, чтобы у каждой группы существовала средняя цена, поэтому такой случай невозможен. Ответ: Нет. в) Средняя цена в группе «дороже 2000 » фиксирована и равна 2050 , а минимально возможная цена в этой группе — 2001 рубль. Чтобы максимизировать цену самого дорогого товара a_(95) , нужно сделать как можно больше товаров в этой группе (т. е. 95 - n — наибольшим, n — наименьшим), а остальные 95 - n - 1 товаров взять по минимальной цене 2001 . Из (*) : n = 95 - (4 k)/(5) , при этом k кратно 5 . Из условия n > k : 95 - (4 k)/(5) > k <=> k < (475)/(9) ~ 52,78, так что наибольшее k = 50 , тогда n = 55 , 95 - n = 40 . 39 дорогих товаров берём по 2001 , а a_(95) находим из равенства суммарной стоимости группы: 2001 * 39 + a_(95) = 2050 * 40 <=> a_(95) = 82000 - 78039 = 3961. Пример: 50 товаров по 1960 , 5 товаров по 2000 , 39 товаров по 2001 и один товар за 3961 . Все условия выполнены. Ответ: а) Да. б) Нет. в) 3961.

А) Да; Б) Нет; В) $3961$.