Задача №17111

На прилавке лежит 95 товаров разной цены, цена каждого выражается целым числом рублей. Средняя цена товаров, которые дешевле 2000 рублей, равна 1960 рублей, а средняя цена товаров, которые дороже 2000 рублей, равна 2050 рублей. Средняя цена всех 95 товаров равна 2000 рублей.

а) Может ли товаров ценой 2000 рублей быть ровно 50?
б) Может ли товаров ценой более 2000 рублей быть в два раза меньше, чем товаров ценой менее 2000 рублей?
в) Какую наибольшую цену (в рублях) может иметь товар на прилавке?

Упорядочим цены товаров по возрастанию: $0<a_1⩽a_2⩽\dots ⩽a_{95}\text{,}$ и разобьём последовательность на три группы:

$$\underset{k\text{ шт.}}{\underbrace{a_1,a_2,\dots ,a_k}},\underset{n-k\text{ шт.}}{\underbrace{a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_n}},\underset{95-n\text{ шт.}}{\underbrace{a_{n+1},a_{n+2},\dots ,a_{95}}},$$

где $a_k<2000\text{,}$ $a_{k+1}=a_{k+2}=\dots =a_n=2000\text{,}$ $a_{n+1}>2000\text{.}$

Зная средние цены товаров в каждой группе, составим основное уравнение:

$$1960k+2000(n-k)+2050(95-n)=95\cdot 2000\iff 4k+5n=475.\text{\hspace{1em}(*)}$$

а) Может ли товаров ценой $2000$ быть ровно $50\text{,}$ т. е. $n-k=50\text{?}$

Из системы

$$\{\begin{array}{l}4k+5n=475,\\ n-k=50\end{array}$$

получаем $k=25\text{,}$ $n=75\text{.}$ Пример: $25$ товаров по $1960\text{,}$ $50$ товаров по $2000\text{,}$ $20$ товаров по $2050\text{.}$ Все условия задачи выполнены.

Ответ: Да.

б) Может ли товаров ценой более $2000$ быть в два раза меньше, чем товаров ценой менее $2000\text{,}$ т. е. $95-n=2k\text{?}$

Из системы

$$\{\begin{array}{l}4k+5n=475,\\ 95-n=2k\end{array}$$

получаем $k=0\text{,}$ $n=95\text{,}$ то есть товаров и дешевле, и дороже $2000$ нет. Но условие задачи требует, чтобы у каждой группы существовала средняя цена, поэтому такой случай невозможен.

Ответ: Нет.

в) Средняя цена в группе «дороже $2000$» фиксирована и равна $2050\text{,}$ а минимально возможная цена в этой группе — $2001$ рубль. Чтобы максимизировать цену самого дорогого товара $a_{95}\text{,}$ нужно сделать как можно больше товаров в этой группе (т. е. $95-n$ — наибольшим, $n$ — наименьшим), а остальные $95-n-1$ товаров взять по минимальной цене $2001\text{.}$

Из $(\ast )\text{:}$ $n=95-\frac{4k}{5}\text{,}$ при этом $k$ кратно $5\text{.}$ Из условия $n>k\text{:}$

$$95-\frac{4k}{5}>k\iff k<\frac{475}{9}\approx 52,78,$$

так что наибольшее $k=50\text{,}$ тогда $n=55\text{,}$ $95-n=40\text{.}$

$39$ дорогих товаров берём по $2001\text{,}$ а $a_{95}$ находим из равенства суммарной стоимости группы:

$$2001\cdot 39+a_{95}=2050\cdot 40\iff a_{95}=82000-78039=3961.$$

Пример: $50$ товаров по $1960\text{,}$ $5$ товаров по $2000\text{,}$ $39$ товаров по $2001$ и один товар за $3961\text{.}$ Все условия выполнены.

Ответ:

а) Да.

б) Нет.

в) 3961.