Задача №15470

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает $21\%\text{.}$
а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б) Может ли доля девочек составить $30\%\text{,}$ если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

а) Пусть в классе $n$ учащихся, $11⩽n⩽26\text{.}$

Если девочек 5, то доля $\frac{5}{n}⩽0.21\text{,}$ откуда

$$n⩾\frac{5}{0.21}\approx 23.8,$$

т.е. $n⩾24\text{.}$

При $n=24$ доля

$$\frac{5}{24}\approx 20.83\%⩽21\%,$$

условие выполнено. Значит, 5 девочек может быть.

б) Пусть изначально девочек $d\text{,}$ учащихся $n\text{,}$ причём

$$\frac{d}{n}⩽\mathrm{0.21.}$$

После прихода одной девочки: девочек $d+1\text{,}$ учащихся $n+1\text{,}$ доля становится $0.3\text{.}$ Тогда

$$\frac{d+1}{n+1}=0.3\Rightarrow d=0.3n-\mathrm{0.7.}$$

Условие $\frac{d}{n}⩽0.21$ даёт

$$0.3n-0.7⩽0.21n\Rightarrow 0.09n⩽0.7\Rightarrow n⩽\mathrm{7.77.}$$

Но по условию $n>10\text{,}$ что противоречит $n⩽7.77\text{.}$ Значит, нет.

в) После прихода девочки доля стала

$$\frac{d+1}{n+1}=\frac{k}{100},$$

где $k$ — целое число процентов. Надо максимизировать $k\text{.}$

Из условия $d⩽0.21n\text{,}$ причём $d$ — целое.

Перебором $n$ от 11 до 26 находим максимальное $k\text{.}$

При $n=11\text{,}$ $d=2\text{:}$ доля после прихода

$$\frac{3}{12}=25\%,k=25.$$

При $n=15\text{,}$ $d=3\text{:}$ доля после прихода

$$\frac{4}{16}=25\%,k=25.$$

Другие $n$ дают $k⩽24\text{.}$ Наибольшее $k=25\text{.}$

Ответ:

а) Да, может.

б) Нет, не может.

в) $25\%\text{.}$