Задача №17418

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-30\text{.}$ При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Пусть $B$ — количество синих карт, $R$ — количество красных. Наибольшее красное число равно $3B$ (делится на 3), наибольшее синее равно $R$ (делится на 5).

а) Пример: одна синяя карта с числом $5$ (тогда $R=5$) и пять красных с числами $3,0,-3,-6,-9$ (кратны 3, наибольшее $3=3\cdot 1$). Все условия выполнены, поэтому да.

б) Синие — $B$ различных кратных 5 из $(-30;R]\text{;}$ их не больше $\frac{R+25}{5}+1=\frac{R}{5}+6\text{,}$ поэтому $40⩽\frac{R}{5}+6\Rightarrow R⩾170\text{.}$ Наибольшее красное $3\cdot 40=120\text{;}$ красные — $R$ различных кратных 3 из $(-30;120]\text{,}$ их не больше $\frac{120+27}{3}+1=50\text{,}$ поэтому $R⩽50\text{.}$ Противоречие. Нет.

в) $B⩽\frac{R}{5}+6$ и $R⩽B+10$ (кратных 3 из $(-30;3B]$ не больше $\frac{3B+27}{3}+1=B+10$). Тогда $B⩽\frac{B+10}{5}+6=\frac{B}{5}+8\Rightarrow \frac{4}{5}B⩽8\Rightarrow B⩽10\text{.}$ Достижимо при $B=10\text{:}$ $R=20\text{;}$ синие — все 10 кратных 5 от $-25$ до $20$ (наибольшее $20=R$), красные — все 20 кратных 3 от $-27$ до $30$ (наибольшее $30=3\cdot 10$).
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 10.