В октябре планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: 1. Каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года. 2. С февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить часть долга. 3. В октябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года. Чему будет равна переплата по кредиту (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты составит 5,75 млн рублей?

Пусть кредит планируется взять на n лет ( n in Z ). По условию долг по состоянию на октябрь должен уменьшаться до нуля равномерно (в млн рублей): 12; (n-1)/(n) * 12; (n-2)/(n) * 12; ; (2)/(n) * 12; (1)/(n) * 12; 0. Каждый январь долг возрастает на 12,5% , то есть умножается на 1,125 = (9)/(8) . Структура годового платежа за год k (от 1 до n ): - Долг на октябрь предыдущего года: (n - k + 1)/(n) * 12 . - В январе долг возрастает на 12,5% , прирост (проценты) равен (1)/(8) * (n - k + 1)/(n) * 12 . - К октябрю долг должен стать (n - k)/(n) * 12 , то есть основная часть платежа равна (12)/(n) . - Полный годовой платёж: (12)/(n) + (n - k + 1)/(8n) * 12 . Платежи по процентам образуют последовательность (в млн рублей): 12 * (1)/(8); (n-1)/(8n) * 12; (n-2)/(8n) * 12; ; (2)/(8n) * 12; (1)/(8n) * 12. Переплата равна сумме всех платежей по процентам: (12)/(8n) * (n + (n-1) + + 2 + 1) = (3)/(2n) * ((n+1)n)/(2) = (3(n+1))/(4). Сумма наибольшей и наименьшей годовых выплат. Наибольшая выплата приходится на первый год ( k = 1 ), наименьшая — на последний ( k = n ): ((12)/(n) + (12)/(8)) + ((12)/(n) + (12)/(8n)) = 5,75. Решим уравнение: (24)/(n) + (12)/(8) + (12)/(8n) = (23)/(4) <=> (3n + 51)/(2n) = (23)/(4) <=> 4(3n + 51) = 46n <=> n = 6. Переплата: (3(6 + 1))/(4) = (21)/(4) = 5,25 млн рублей. Ответ: 5,25 .

$5{,}25$