Задача №17025

В октябре планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
1. Каждый январь долг возрастает на $12,5\%$ по сравнению с концом предыдущего года.
2. С февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить часть долга.
3. В октябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года.

Чему будет равна переплата по кредиту (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты составит $5,75$ млн рублей?

Пусть кредит планируется взять на $n$ лет ($n\in \mathbb{Z}$). По условию долг по состоянию на октябрь должен уменьшаться до нуля равномерно (в млн рублей):

$$12;\frac{n-1}{n}\cdot 12;\frac{n-2}{n}\cdot 12;\dots ;\frac{2}{n}\cdot 12;\frac{1}{n}\cdot 12;0.$$

Каждый январь долг возрастает на $12,5\%\text{,}$ то есть умножается на $1,125=\frac{9}{8}\text{.}$

Структура годового платежа за год $k$ (от 1 до $n$):

• Долг на октябрь предыдущего года: $\frac{n-k+1}{n}\cdot 12\text{.}$
• В январе долг возрастает на $12,5\%\text{,}$ прирост (проценты) равен $\frac{1}{8}\cdot \frac{n-k+1}{n}\cdot 12\text{.}$
• К октябрю долг должен стать $\frac{n-k}{n}\cdot 12\text{,}$ то есть основная часть платежа равна $\frac{12}{n}\text{.}$
• Полный годовой платёж: $\frac{12}{n}+\frac{n-k+1}{8n}\cdot 12\text{.}$

Платежи по процентам образуют последовательность (в млн рублей):

$$12\cdot \frac{1}{8};\frac{n-1}{8n}\cdot 12;\frac{n-2}{8n}\cdot 12;\dots ;\frac{2}{8n}\cdot 12;\frac{1}{8n}\cdot 12.$$

Переплата равна сумме всех платежей по процентам:

$$\frac{12}{8n}\cdot (n+(n-1)+\cdots +2+1)=\frac{3}{2n}\cdot \frac{(n+1)n}{2}=\frac{3(n+1)}{4}.$$

Сумма наибольшей и наименьшей годовых выплат. Наибольшая выплата приходится на первый год ($k=1$), наименьшая — на последний ($k=n$):

$$\left(\frac{12}{n}+\frac{12}{8}\right)+\left(\frac{12}{n}+\frac{12}{8n}\right)=5,75.$$

Решим уравнение:

$$\frac{24}{n}+\frac{12}{8}+\frac{12}{8n}=\frac{23}{4}\iff \frac{3n+51}{2n}=\frac{23}{4}\iff 4(3n+51)=46n\iff n=6.$$

Переплата:
$\frac{3(6+1)}{4}=\frac{21}{4}=5,25$ млн рублей.

Ответ: $5,25\text{.}$