Задача №15430

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть сумма кредита $S$ руб., а ежегодный платёж $X$ руб. Кредит погашается тремя равными платежами. После увеличения долга на 25% в январе каждого года имеем:

$$\begin{array}{rl}1.25S-X& =D_1,\\ 1.25D_1-X& =D_2,\\ 1.25D_2-X& =0.\end{array}$$

Из третьего уравнения: $D_2=\frac{X}{1.25}=0.8X\text{.}$ Подставляем во второе:

$$1.25D_1-X=0.8X\Rightarrow 1.25D_1=1.8X\Rightarrow D_1=\frac{1.8X}{1.25}=1.44X.$$

Из первого уравнения:

$$1.25S-X=1.44X\Rightarrow 1.25S=2.44X\Rightarrow S=\frac{2.44X}{1.25}=1.952X.$$

Общая сумма выплат $3X\text{.}$ По условию она на 104800 руб. больше суммы кредита:

$$3X-S=104800\Rightarrow 3X-1.952X=104800\Rightarrow 1.048X=104800.$$

Отсюда:

$$X=\frac{104800}{1.048}=100000,3X=300000.$$

Ответ: 300000.