Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть на первом заводе рабочие трудятся x^2 часов в неделю, производя x единиц товара, а на втором — y^2 часов, производя y единиц. Затраты на оплату труда по условию задачи составляют: 200x^2 + 300y^2 1200000. Упростим неравенство, разделив обе части на 100 : 2x^2 + 3y^2 12000. Требуется максимизировать суммарное количество единиц товара Q = x + y . Максимальное значение достигается на границе области, когда выполняется равенство: 2x^2 + 3y^2 = 12000. Выразим y через x : y = sqrt((12000 - 2x^2)/(3)). Подставим полученное выражение в функцию Q(x) : Q(x) = x + sqrt((12000 - 2x^2)/(3)). Найдём производную функции Q(x) : Q'(x) = 1 - (2x)/(3sqrt(12000 - 2x^23)). Приравняем производную к нулю для поиска экстремума: 1 = (2x)/(3sqrt(12000 - 2x^23)) => 3sqrt((12000 - 2x^2)/(3)) = 2x. Возведём обе части уравнения в квадрат при x > 0 : 9 * (12000 - 2x^2)/(3) = 4x^2 => 3(12000 - 2x^2) = 4x^2. 36000 - 6x^2 = 4x^2 => 10x^2 = 36000 => x^2 = 3600 => x = 60. Найдем значение y : y = sqrt((12000 - 2 * 60^2)/(3)) = sqrt((12000 - 7200)/(3)) = sqrt((4800)/(3)) = sqrt(1600) = 40. Проверка: при x = 60 и y = 40 затраты равны 200 * 3600 + 300 * 1600 = 720000 + 480000 = 1200000 рублей. Суммарное количество товара составляет Q = 60 + 40 = 100 . Ответ: 100

100