Задача №15421

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему $200$ рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — $300$ рублей.

Вадим готов выделять $1200000$ рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть на первом заводе рабочие трудятся $x^2$ часов в неделю, производя $x$ единиц товара, а на втором — $y^2$ часов, производя $y$ единиц.

Затраты на оплату труда по условию задачи составляют:\

Упростим неравенство, разделив обе части на $100\text{:}$\

Требуется максимизировать суммарное количество единиц товара $Q=x+y\text{.}$ Максимальное значение достигается на границе области, когда выполняется равенство:\

Выразим $y$ через $x\text{:}$\

Подставим полученное выражение в функцию $Q(x)\text{:}$\

Найдём производную функции $Q(x)\text{:}$\

Приравняем производную к нулю для поиска экстремума:\

Возведём обе части уравнения в квадрат при $x>0\text{:}$\

\

Найдем значение $y\text{:}$\

Проверка: при $x=60$ и $y=40$ затраты равны $200\cdot 3600+300\cdot 1600=720000+480000=1200000$ рублей.
Суммарное количество товара составляет $Q=60+40=100\text{.}$

Ответ: 100