На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу). а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395 = 3 + 6 + + 90, если все числа на доске кратны 3? б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067? в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

а) Если все числа кратны 3, то это 30 различных натуральных чисел, кратных 3. Минимальная сумма достигается на наименьших таких числах: 3, 6, ..., 90. Их сумма равна 3* (1 + 2 + + 30) = 3*(30* 31)/(2) = 1395. Любой другой набор даст сумму больше. Поэтому сумма не может быть меньше 1395. б) Если ровно одно число красное, то зеленых чисел 29. Минимальная сумма зеленых: наименьшие 29 чисел, кратных 3: 3, 6, ..., 87. Их сумма: 3*(29* 30)/(2) = 1305. Красное число кратно 7, минимальное 7. Тогда минимальная общая сумма 1305 + 7 = 1312 > 1067. Любая другая комбинация даст сумму не меньше. Значит, невозможно. в) Пусть красных чисел k, зеленых 30 - k. Минимальные суммы: S_(зел мин) = 3*((30 - k)(31 - k))/(2), S_(крас мин) = 7*(k(k + 1))/(2). Условие S_(зел мин) + S_(крас мин)<= 1067. Также сумма всех чисел равна 1067, и числа могут подбираться не обязательно минимальные, но сумма не может быть меньше минимальной. Проверим k = 2: S_(мин) = 3*(28* 29)/(2) + 7*(2* 3)/(2) = 1218 + 21 = 1239 > 1067 — невозможно. k = 5: S_(мин) = 3*(25* 26)/(2) + 7*(5* 6)/(2) = 975 + 105 = 1080 > 1067 — невозможно. k = 8: S_(мин) = 3*(22* 23)/(2) + 7*(8* 9)/(2) = 759 + 252 = 1011 < 1067. Покажем, что существует пример. Возьмем зеленые: 3, 6, 9, ..., 63 и 108 (вместо 66). Их сумма: 3*(21* 22)/(2) + 108 = 693 + 108 = 801. Красные: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 70. Сумма: 7* (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 10) = 7* 38 = 266. Общая сумма: 801 + 266 = 1067. Условия различия и кратности выполнены. Для k < 8, удовлетворяющих k=== 2+- od3 (так как 1067=== 2+- od3, то k=== 2+- od3), минимальные суммы превышают 1067. Значит, наименьшее k = 8. Ответ: а) Нет, не может. б) Нет, не может. в) 8.

\(\text{\text{а) } нет}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }8\)