Задача №15416

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть сумма кредита $S$ руб., ежегодный платёж $X$ руб. Общая сумма выплат: $3X=S+40980\text{.}$

Динамика долга:

Июль 2020: $S\text{.}$

Январь 2021: $1,1S\text{.}$ После выплаты: $1,1S-X\text{.}$

Январь 2022: $1,1(1,1S-X)=1,21S-1,1X\text{.}$ После выплаты: $1,21S-2,1X\text{.}$

Январь 2023: $1,1(1,21S-2,1X)=1,331S-2,31X\text{.}$ После выплаты:

$$1,331S-3,31X=0\Rightarrow X=\frac{1,331}{3,31}S.$$

Подставляем:

$$3\cdot \frac{1,331}{3,31}S=S+40980\Rightarrow \frac{3,993}{3,31}S-S=40980\Rightarrow \frac{0,683}{3,31}S=40980\Rightarrow S=40980\cdot \frac{3,31}{0,683}.$$

Вычисляем: $40980÷0,683=60000\text{,}$ тогда $S=60000\cdot 3,31=198600\text{.}$

Ответ: 198600