Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
Ларин
В начале года за участие в инвестировании крупного проекта фирме был выделен пакет ценных бумаг. К концу каждого k-го года владения ценными бумагами их стоимость увеличивается и становится равной 10k условных денежных единиц. В конце k-го года после очередного увеличения стоимости ценных бумаг фирма имеет возможность продать весь пакет, а вырученную сумму вложить в банк, и тогда в конце следующего года вложенная сумма увеличится на 9%. В конце какого года фирме следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на счёте была наибольшей?
Обозначим через n номер года, в конце которого фирма продаёт ценные бумаги. Тогда стоимость пакета на момент продажи равна 10n условных денежных единиц. После продажи вся сумма кладётся в банк под 9% годовых на 25−n лет. Значит, в конце двадцать пятого года сумма на счёте составит
an=10n⋅1,0925−n ден. ед.,n=1;2;…;25.Найдём номер максимального члена. Рассмотрим приращение δn=an−an−1 при n⩾2:
δn=10n⋅1,0925−n−10(n−1)⋅1,0925−(n−1)=1,0925−n(10n−10(n−1)⋅1,09).Раскроем скобки во второй части:
10n−10,9(n−1)=10n−10,9n+10,9=10,9−0,9n.Так как 1,0925−n>0, знак δn совпадает со знаком 10,9−0,9n:
δn>0⇔n<0,910,9≈12,11⇔n⩽12; δn<0⇔n⩾13.Значит, последовательность an возрастает до n=12 и убывает после. Максимум достигается при n=12.
Ответ: 12.