В начале года за участие в инвестировании крупного проекта фирме был выделен пакет ценных бумаг. К концу каждого k -го года владения ценными бумагами их стоимость увеличивается и становится равной 10k условных денежных единиц. В конце k -го года после очередного увеличения стоимости ценных бумаг фирма имеет возможность продать весь пакет, а вырученную сумму вложить в банк, и тогда в конце следующего года вложенная сумма увеличится на 9% . В конце какого года фирме следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на счёте была наибольшей?

Обозначим через n номер года, в конце которого фирма продаёт ценные бумаги. Тогда стоимость пакета на момент продажи равна 10n условных денежных единиц. После продажи вся сумма кладётся в банк под 9% годовых на 25 - n лет. Значит, в конце двадцать пятого года сумма на счёте составит a_n = 10n * 1,09^(25 - n) ден. ед., n = 1; 2; ; 25. Найдём номер максимального члена. Рассмотрим приращение _n = a_n - a_(n-1) при n 2 : _n = 10n * 1,09^(25 - n) - 10(n - 1) * 1,09^(25 - (n - 1)) = 1,09^(25 - n) ( 10n - 10(n - 1) * 1,09 ). Раскроем скобки во второй части: 10n - 10,9(n - 1) = 10n - 10,9n + 10,9 = 10,9 - 0,9n. Так как 1,09^(25 - n) > 0 , знак _n совпадает со знаком 10,9 - 0,9n : _n > 0 <=> n < (10,9)/(0,9) ~ 12,11 <=> n 12; _n < 0 <=> n 13. Значит, последовательность a_n возрастает до n = 12 и убывает после. Максимум достигается при n = 12 . Ответ: 12.

$12$