Задача №15365

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

Пусть начальный долг $D_0$ (в тыс. рублей). Для месяцев $i=1,\dots ,10$ долг на 15-е число уменьшается на 80: $D_i=D_0-80i\text{.}$ На 15-е число 11-го месяца $D_{11}=0\text{.}$

Общая сумма выплат:

$$\sum _{i=1}^{11}\left(1.03\cdot D_{i-1}-D_i\right)=0.03\cdot \sum _{i=0}^{10}{D}_i+D_0=1198$$

Вычисляем сумму:

$$\sum _{i=0}^{10}{D}_i=11D_0-80\cdot \frac{10\cdot 11}{2}=11D_0-4400$$

Подставляем:

$$0.03\cdot (11D_0-4400)+D_0=1198\Rightarrow 1.33D_0-132=1198\Rightarrow D_0=1000$$

Ответ: $D_{10}=1000-80\cdot 10=200$ тысяч рублей.