Задача №15423

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит 311040 рублей?

Пусть сумма кредита $S$ руб., ежегодный платёж $X\text{.}$

Общая сумма платежей 311040 руб. за 4 года: $4X=311040\Rightarrow X=77760\text{.}$

Аннуитетный платёж под 20% годовых:

$$S=\frac{X}{1.2}+\frac{X}{1.2^2}+\frac{X}{1.2^3}+\frac{X}{1.2^4}=X\cdot \frac{1+1.2+1.2^2+1.2^3}{1.2^4}$$

Вычислим:

$$1+1.2+1.44+1.728=5.368$$ $$1.2^4=2.0736$$ $$S=77760\cdot \frac{5.368}{2.0736}$$

Более точно через дроби: $1.2=\frac{6}{5}\text{,}$ тогда

$$S=X\cdot \frac{{\left(\frac{6}{5}\right)}^3+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2+\frac{6}{5}+1}{{\left(\frac{6}{5}\right)}^4}=77760\cdot \frac{671/125}{1296/625}=77760\cdot \frac{671}{125}\cdot \frac{625}{1296}$$ $$=77760\cdot \frac{671\cdot 5}{1296}=77760\cdot \frac{3355}{1296}$$

Так как $77760/1296=60\text{,}$ то $S=60\cdot 3355=201300\text{.}$

Ответ: 201300.