Задача №15363

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы:

1. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
2. со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
3. 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
4. к 15 декабря 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Сумма кредита $S=18$ млн руб., срок 72 месяца. Долг уменьшается равномерно, ежемесячное уменьшение:

$$d=\frac{S}{72}=\frac{18}{72}=0.25\text{ млн руб.}$$

Остаток долга на начало месяца $k$ ($k=1,\dots ,12$ для 2027 года): $D_{k-1}=18-0.25(k-1)\text{.}$ Выплата в месяце $k\text{:}$

$$0.01D_{k-1}+d=0.01(18-0.25(k-1))+0.25=0.43-0.0025(k-1).$$

Сумма выплат за 12 месяцев 2027 года:

$$\sum _{k=1}^{12}(0.43-0.0025(k-1))=12\cdot 0.43-0.0025\sum _{k=0}^{11}k=5.16-0.0025\cdot \frac{11\cdot 12}{2}=5.16-0.165=\mathrm{4.995.}$$

Ответ: 4.995 млн руб.